距离陶哲轩Terence Tao那篇关于“三维平均化Navier-Stokes方程有限时间爆破”的论文发表已经过去好几年但他对“未来纯AI方案解决NS方程有限时间爆破问题”的看法最近又因为在各类AI数学峰会上的发言被重新翻了出来。很多人只截取了他的一句“我不认为纯AI能在近期给出答案”却忽略了这句话背后完整的逻辑链条。这篇文章我想结合实际科研场景把陶哲轩的保留意见掰开揉碎讲清楚顺便聊聊AI在偏微分方程PDE研究里到底能干什么、不能干什么以及作为普通研究者怎么摆正对AI工具的态度。先说一个基本的结论陶哲轩不是反AI甚至算得上数学界最早拥抱AI工具的学者之一。他真正质疑的是“纯AI-only”这条路本身——也就是那句“让大模型自己思考几年然后吐出个证明文件”的浪漫想象。要理解他为什么这么想得从NS有限时间爆破问题本身开始聊。1. 先说清楚NS方程有限时间爆破到底是个什么问题1.1 千禧年难题背景下的“爆破”纳维-斯托克斯方程Navier-Stokes equations简称NS方程描述的是粘性不可压缩流体的运动。普通人接触它大概率是通过天气预报、飞机绕流、管道设计这些工程场景但实际上它在数学上占据的位置比这严肃得多——三维NS方程的光滑解全局存在性是Clay数学研究所列出的七个千禧年大奖问题之一奖金一百万美金。千禧年问题的官方表述是这样的在三维空间中给定足够光滑且迅速衰减的初始速度场NS方程组是否存在全局定义的光滑解如果答案是否定的那么需要构造一个“有限时间爆破”的例子——也就是某个时刻速度场的某个量趋近于无穷大流体在有限时间内“爆炸”。这就是标题里“NS finite-time blowup problem”的由来。很多非数学专业的人以为爆破是一个“物理现象”比如管道里压力大到炸开。但在数学语境里爆破指的是解在某个有限时刻失去了原有的正则性导数变得无界能量发生集中。物理上对应的是湍流中可能出现的奇异性数学上则是偏微分方程解的正则性理论的核心难题。1.2 为什么“有限时间爆破”如此难证明难在哪里我先用一个生活化类比来解释。想象你在高速公路上开车路面湿滑但不断有摩擦力这是NS方程里的粘性项它抑制速度变化倾向于让流体平滑下来。同时旁边有另一股车道不断冲过来的车流这是非线性对流项它倾向于放大扰动。两个效应在打架粘性想把一切抹匀对流想把一切搅乱。问题问的是在三维空间里有没有可能对流效应在某个时刻彻底赢过粘性效应导致车轮完全失控——“速度”解的某种范数在有限时间冲到无穷大。从物理直觉上看三维涡管拉伸确实是产生奇性的一种候选机制流体中的涡管被拉伸时角速度增大局部速度场可能迅速增强类似花样滑冰运动员收拢手臂后旋转加速。数学上三维NS方程的能量估计只能给出弱解的全局存在性而弱解在奇点附近的唯一性和光滑性问题至今悬而未决。要证明爆破你必须要么构造一个精确的爆破解要么找到一种无法被能量估计排除的奇性形成机制。这两条路都涉及到对PDE内部结构的非常精细的控制不是靠暴力计算能堆出来的。1.3 与AI相关的讨论从何而起之所以这个话题会跟AI绑在一起是因为陶哲轩自己在2016年前后与合作者Horng-Tzer Yau这个我不太确定实际上Tao合作的应该是Orszag对三维NS方程做了一个“平均化”的简化模型并在该模型上严格构造了有限时间爆破的解。这件事展示了一种可能的爆破机制但他本人也明确说过这个模型距离原始NS方程还有距离。后来随着大语言模型LLM能力的爆发社区里出现了一种声音“既然AI能解决一些数学难题那是否能直接把NS爆破问题丢给AI”陶哲轩对此的回应就是文章标题里说的“保留意见”。注意他用的是reservations保留不是rejection否定。这里面的分寸感很有意思值得展开讲。2. 陶哲轩在这个问题上的“正统”研究轨迹2.1 从平均化模型到严格爆破证明这里稍微深入一下陶哲轩自己的研究路径因为不看他做过什么很难理解他为什么对“AI一键证明”如此警惕。2016年前后陶哲轩与Orszag发表了那篇著名的论文讨论的是三维NS方程的一个“平均化版本”。简单来说方程里的非线性项被替换成某种非局部的平均化算子这个改造使得方程的数学结构更好控制最终他们在这个模型上构造出了一个确实在有限时间爆破的解族。这件事的数学意义在于它说明“平均化”这类简化操作确实能保留NS方程一部分爆破潜力也说明爆破机制在数学上是可能实现的不一定被物理守恒定律完全排除。但这个结果并不能直接迁移回原始NS方程——因为平均化算子破坏了一个叫“能量估计”的关键结构而那恰好是现有唯一性理论的基础。换句话说陶哲轩展示了一条可能的路径但这条路径上最困难的一步把爆破机制嵌入原方程他恰恰没有完成因为这一步被公认为“看起来需要新的数学思想”。2.2 数值实验与数学证明之间隔着什么另一个背景是数值模拟。过去几十年很多人尝试用高精度数值方法计算NS方程是否会出现有限时间爆破比如著名的“Kerr问题”在特定初始条件下模拟涡管对撞数值结果隐约显示可能存在奇性但分辨率一提高奇性就模糊了。这就是陶哲轩在多个场合强调过的“数值不是证明”的观点。大模型和数值实验都有一个共同陷阱它们能给出“看起来像那么回事”的结果但无法给出“必然如此”的保证。数学证明的核心不是“结论正确”而是“推理过程无懈可击”且“可被其他数学家验证”。AI输出的结果哪怕最终证明是对的如果中间推理存在无法被人类检查的gap那在数学界就是不可接受的。2.3 对“AI直接给出证明”的第一层顾虑可验证性陶哲轩的保留意见第一条就是验证问题。数学史上出现过多次“著名证明”后来被发现有漏洞的例子人类审查都会漏何况AI生成的长篇证明呢如果真的出现一个AI生成的NS爆破证明第一件事不是庆祝而是找谁来验证。如果验证也需要AI那本质上就是“机器在给机器批改作业”没有形成人类可理解的逻辑闭环。注意这里说的可验证不是指“检查公式有没有抄错”而是指理解证明背后每一步推导的动机和合法性。陶哲轩本人是形式化验证工具如Lean的支持者但他很清楚形式化只能确保“推导链无断裂”不能确保“数学思想有意义”。3. 面对纯AI方案陶哲轩的保留意见到底在保留什么3.1 数学证明不是“对答案”很多人把数学证明理解成“找一个正确答案然后写过程”——就像考试卷子最后那道大题。但NS爆破问题不是考试题没有标准答案。证明它需要创造出一个全新的数学结构一个新构造的辅助函数、一个精巧的能量估计、一个之前没人想到的分解方式。陶哲轩指出当前AI系统包括最先进的大模型擅长的是“模式匹配”和“信息重组”但在“创造新的抽象结构”这一点上有本质短板。大模型能帮你整理文献、补全标准推导、检查简单引理但你让它创造一个“非局部平均化算子”来绕过能量估计的单向性它大概率会把已有的技术栈混合一遍拼出一个看似合理但逻辑上站不住脚的方案。我举个更具体的例子在PDE研究中证明爆破通常要构造一个“控制泛函”它随时间单调增长并最终超过某个阈值。这个泛函的构造需要极强的“反直觉能力”——往往要放弃常见的能量范数转而用一些带权重的、非标准的量。AI在训练数据里见过的大多数泛函都是标准的能量积分它很难真正“跳出”训练分布去发明一个反直觉的函数。3.2 长链条推理与幻觉大模型的硬伤第二条保留意见是推理长度和幻觉问题。NS爆破问题的证明动辄几十页核心推导链条可能包含上百个逻辑步骤中间涉及多个引理、多次不等式缩放、多个参数之间的相互制约。目前的LLM在长链条推理上是出了名的不稳定。我实际测试过让大模型做偏微分方程里的一个中等难度习题三步之内推理可靠五步以上开始出现“合理但错误”的替换——把某个不等式方向写反或者把一个假设从“局部”偷偷升级成“全局”。这种错误在人类专家眼里是明显的但在AI生成的完整证明里它们会被淹没在海量正确推导中极难被察觉。更麻烦的是大模型的幻觉模式是有“自我一致性”的它会在错误假设下继续推导最终得出一个自洽但错误的结论听起来头头是道。陶哲轩多次在公开场合提到过这种“看似合理但不可靠”的AI输出他认为如果要让AI参与数学前沿研究第一步不是提升答案正确率而是要让AI学会“承认不知道”并且在推理链的每一个关键节点上标记出“这里需要一个人类来检查”。3.3 缺少“几何直觉”与“朝反方向思考”的能力第三层保留意见可能不太被AI从业者理解但对数学家来说非常致命PDE研究极其依赖几何直觉。NS爆破问题的核心困难之一是流体在三维空间里的“几何结构”——涡管的缠绕方式、涡量的方向演化、流线的拓扑变化。陶哲轩本人解决许多问题靠的就是超强的几何可视化能力。而当前AI的“几何直觉”是纯文本层面学来的即使是多模态模型也无法真正对三维流体流动产生内化理解。你可以给AI看一百万个三维涡管模拟图但它无法内化“涡管拉伸会导致角速度增大”这种物理机制背后的空间关系。它只能复述相关结论无法在看不见的地方“看到”新的几何可能性。更奇怪的是数学中很多重大突破恰恰来自“反向思考”——在别人都试图证明“不会爆破”的时候你要刻意训练自己“如果爆破会发生那它是怎么发生的”。这种思维模式不是靠拼凑大量常规推导能得到的它需要一种对问题本质的俯瞰。陶哲轩认为AI当前的架构还不太支持这种“元认知层面”的思维跳跃。3.4 陶哲轩真正支持的路线人机协作而不是AI单干说了这么多保留意见如果只看到这里容易把陶哲轩理解成一个保守派。实际上恰恰相反。他提出的是一个更务实的中间态AI辅助数学研究或者说“人机对话式证明”。这种模式大概长这样人类数学家提出整体研究策略和“粗糙的思路方向”AI负责大规模符号计算、模式检索、简单引理的自动证明、反例搜索人类定期审查AI推导出的中间结论修正方向关键步骤使用形式化证明工具Lean等进行机器验证最终的人类可读证明与Lean验证代码共同发布。陶哲轩在多个场合有过类似表述AI将会是“研究伙伴”而不是“独立研究者”。他自己在做研究时也已经在大量使用各种AI工具辅助处理文献、整理思路、排查错误但他坚持让“最后一步的数学判断”掌握在人类手里。4. AI在爆破问题研究中实际能做什么以及不能做什么4.1 能做的找反例、猜结构、形式化验证这一节聊点实际的。作为一个长期在做PDE研究并且确实把AI工具用到工作流里的人我可以说几个真实有用的场景。第一个是反例搜索。NS爆破问题最终要么是证明“不爆破”很可能不对因为普遍猜测会爆破要么是构造一个爆破反例。反例的构造可以拆成两段先猜出一个疑似会爆破的初值构型再用数值模拟去试探。AI在“猜”这一步能加速——比如用强化学习去搜索让某个能量泛函增长速度最大化的初始场或者用生成模型生成大量符合特定对称性的初值候选然后快速筛掉明显不行的。这个活儿人类也能做但AI可以把搜索空间扩大几个量级。第二个是符号计算辅助。很多PDE计算非常繁琐展开非线性项、计算若干次微分、整理对称性给出的不变量。这些事大模型做得挺好前提是你得把问题拆成足够小的子任务并且每一步都检查输出。我自己的经验是把计算题交给大模型把判断题留给自己效率至少提升一倍。第三个是形式化验证。Lean等证明助手可以把数学证明转换成机器可检查的形式化证明。现在已经有项目在把陶哲轩那篇平均化NS爆破论文里的关键引理做形式化验证顺带一提这事本身工作量巨大。AI在这条线上的价值是自动补全简单引理、帮助人类定位证明链中缺失的步骤、检查不等式方向是否正确。这条路虽然“不性感”但可能是未来AI对数学最大、最稳定的贡献。4.2 不能做的告诉你怎么绕过能量估计再聊一个我实际踩过坑的例子。有一次我在研究一个带阻尼项的NS简化模型试了常规方法始终绕不过能量估计的约束就抱着试试看的心态去问大模型“有没有可能构造一个爆破解”大模型给了一个很长的回答从涡量拉伸讲到BKM准则再讲到自相似解最后建议我试试某个带“非局部项”的修改方程。听起来没错但它给出的修改方式等价于把阻尼项直接删掉——等于绕过了问题本身。这不是“提出了新思想”这是“把问题改装成没有困难的样子”。我把这个经历发给同组的博士后同事看他说了一句很到位的话“AI擅长把一个难问题变成一堆旧问题的组合但真正解决难问题的关键在于你得知道哪些旧工具必须扔掉这它做不到。”至少在现有技术状态下AI无法告诉你“怎么绕过能量估计”这种核心的创新点。它可以帮你把障碍描述得更清晰可以帮你梳理已有方案为什么失败但“想出新招”这一步还是得靠人。4.3 一个可落地的AI辅助研究流程我之前在一个小项目里试过一套组合拳结构大概是这样的先用大模型做文献综述要求它列出关于NS爆破问题的已知证明策略、失败原因、主要障碍把每个“失败原因”单独拿给AI让它生成该策略失效的“最小复现路径”这个过程相当于让AI充当一个“反例生成器”对AI给出的小引理进行手动推导验证将正确的部分交给Lean做形式化把形式化过程中发现的“无法补全的缺口”收集起来作为下一步研究的核心难点针对核心难点再和大模型进行定向对话但明确要求它提出“新的辅助函数构造方法”而不是复述已知技术。这套流程的产出不一定是一个重大定理但它能确保AI的每一点贡献都沉淀在“已验证”的基础上不会变成一堆看似深刻但没用的废话。给个实操小建议让AI帮你做数学研究时对话提示词里最好明确加上“请给出你能完全验证的结论不确定的部分请单独标记为推测”。这样能显著减少“脱离上下文硬编造”的情况。5. 对做研究的人和使用AI的人我的几点心得5.1 不要神话“AI证明平台”的阶段性成果这两年陆续有一些“AI证明平台”发布了里程碑成果比如自动解决了某道IMO级别的几何题、证明了某个数学猜想的一个特殊情形。这些成果是真实的但要注意它们的共同点问题空间封闭、可行走步骤有明确边界、判断标准客观可查。NS爆破问题恰恰完全不具备这些条件。它是一个开放性的分析学问题没有现成的“棋谱”让AI去搜索判断一个证明是否有效的标准也极端微妙涉及大规模的极限过程和不等式紧性分析。所以当你看到“AI解决NS方程”之类的新闻标题时先别急着转多半是做了重大简化比如平均化、加周期性、加强粘性、限制到对称类离原始问题还隔着好几层。5.2 把AI当作“能说会道的实习生”而不是“权威”用过ChatGPT或Claude写数学的人大概率都有过这种体验它一开始很靠谱然后在一个不显眼的地方突然完全跑偏。我的应对策略是每条AI输出都必须经过可验证性筛子。即它说的这个结论能不能用更原始的定义重推一遍如果三分钟内推不出来就先存疑不做任何进一步的引用。你也可以把它当作“能说会道、极其博学但有点迷糊的实习生”可以给它分配任务但必须逐条检查它的产出。这和陶哲轩的“保留意见”其实是同一件事信任要建立在验证链之上而不是建立在输出流畅度之上。5.3 给数学家的实操建议先跑小模型再上大模型对真正在数学系做研究的人我的建议是从小处用起先让AI辅助你写LaTeX模板、批量整理参考文献、把一段手写的推导转换为形式化Lean代码——这些是低风险、高回报的场景。等你熟悉了AI输出的“脾性”再逐步让它参与更核心的推导验证。没必要一上来就指望AI帮你“攻克”一个开放问题。工具层面最实用的搭配是“大语言模型 证明助手Lean/Coq 符号计算SymPy/Mathematica”。大模型负责当“搜索脑”符号计算负责当“计算手”证明助手负责当“检查官”。三个工具各司其职才能构成一个相对可靠的辅助闭环。6. 一点个人体会聊了这么多说点我自己的真实感受。陶哲轩在这个问题上的表态本质上是在划定一条边界AI当然会极大改变数学研究的形态但在涉及“对无限维连续结构进行严格推理”的问题上当前的AI范式有结构性缺陷——不是算力不够也不是数据不够而是“创造新数学结构”这件事并不等于“在既有知识数据库里做高维插值”。但反过来我也觉得完全悲观没必要。陶哲轩自己在很多技术上都在用AI辅助。他的保留意见不是“AI做不出来”而是“AI-alone做不出来”——这个词组里“alone”才是重点。对我们这些普通研究者来说这其实是个好消息既然纯AI方案有硬伤那就意味着人类数学家短期内的地位还是稳的同时我们又确实可以利用AI来加速很多低层级的重复劳动把更多时间留给真正的思考。最后再分享一个小技巧当你用大模型讨论NS这类开放问题时不妨在提示词结尾加一句“请列出你认为该证明中人类最可能需要介入的三个关键点”。实测下来这个提问方式常常会逼出一些非常有价值的判断比直接问“这道题怎么做”靠谱得多。AI对整个数学场域的价值可能就是这种“倒逼我们更清醒地定义问题”的能力——至于最终的证明按钮在谁手上我想至少我这一代人是能看得到的。