简介《除法的由来》是一份以数学史为主题的 Word 文档面向小学数学教师、学生及数学文化爱好者系统梳理除法运算在中国从先秦到汉唐的发展脉络。文档围绕《筭数书》中七类十九种除法表示法、五十五条运算规则以及算筹与口诀相结合的实用计算方式展开并援引《孙子算经》“凡除之法与乘正异”来说明古人对乘除本质区别的洞察适合用于备课补充、数学文化拓展阅读或课件素材整理。资源仅含 1 个 docx 文件压缩包体积约 13KB体量轻巧、便于快速下载和随身查阅。目前已有 187 人学习浏览内容聚焦除法起源、古代应用场景及经典典籍演变既能帮助读者理解除法运算的现实意义也能为课堂注入生动的历史背景是一份兼顾知识性与趣味性的历史文化资料。1. 除法这个运算到底在解决什么核心问题想讲清楚除法的由来得先想清楚一个问题除法这一运算到底是在做什么很多老师讲除法时会直接告诉学生“除法就是平均分”但这句话只说对了一半。除法其实包含两种完全不同的含义。第一种是“等分除”比如把12个苹果平均放到3个盘子里每盘几个这种问题里已知总数和份数求每份的数量。第二种是“包含除”比如12个苹果每4个装一袋能装几袋这种问题里已知总数和每份的数量求能分成几份。这两种含义的区别学生在做题时往往意识不到但回归到除法“由来”这个源头两种含义恰恰对应了人类历史上不同的实际需求。古人分猎物、分粮食需要的是“等分除”古人计算一块布能做几件衣服、一筐粮食能吃几天需要的是“包含除”。可以说除法从诞生那天起就是被生活逼出来的。我写这篇博文的起因是准备一堂数学文化课。当时翻教材发现教材对除法由来只有一句话学生也老问“除法到底谁发明的”于是我就做了一次完整的资料梳理结合课上试讲的经验整理成文。这篇内容既适合小学数学老师备课参考也适合家长给孩子讲数学故事甚至对任何好奇“数学符号从哪来”的读者都有价值。2. 古文明里的除法没有除号古人怎么算2.1 古埃及靠“翻倍相加”硬算出来古埃及人的数学水平相当高但他们没有九九乘法表也没有除法符号。他们怎么算除法答案是全部转化成加法。今天我们把除法看作乘法的逆运算古埃及人虽然也这样想但他们的执行方式很特别。以“96 ÷ 12”为例古埃及人的做法是看看12要翻倍多少次才能凑到96。12翻倍是24再翻倍是48再翻倍是96。他们就会记录1个12是122个12是244个12是488个12是96。然后数一数96是8个12所以结果是8。如果遇到除不尽的情况比如“10 ÷ 3”他们会用单位分数来处理。古埃及人把所有分数都写成单位分数的和也就是分子为1的分数。10 ÷ 3他们会记成3加1/3再加1/3总之想尽办法拆成分母不同的单位分数。今天看起来繁琐到极点但这套方法在莱因德纸草书上完整保存下来前后用了上千年。我在课堂上跟学生讲这个时会让他们自己动手“翻倍”一次。学生做完后的第一反应几乎都是“好麻烦”。但恰恰是这种“麻烦”能让孩子体会到今天算法的简洁是几千年来逐步优化的结果。2.2 古巴比伦利用倒数表“化除为乘”古巴比伦人走了一条完全不同的路。他们有成熟的六十进制计数法还编制了大量数学用表其中最关键的是“倒数表”。倒数表的思路其实特别现代除法本质上是乘以除数的倒数。比如古巴比伦人要算“a ÷ b”他们不是直接做除法而是查表找到“1/b”的值再乘以a。这跟我们今天用计算器算除法时心里默认“除以一个数等于乘以它的倒数”是完全同一个逻辑。当然他们的倒数表只列了有限个常见除数。遇到表里查不到的除数就通过分解因数的方式间接查表。比如除数是8倒数表里没有但知道1/8等于1/2乘以1/4查两个表再相乘就行。这套方法给我的启发是古人解决问题第一步往往不是创造新运算而是想办法把不会的转化成会的。这个思路本身就是今天算法设计里“归约”思想的雏形。给学生讲清楚这一层比单纯让他们记住除法法则更有价值。2.3 中国古代筹算和“商”字背后的智慧中国古代数学家里除法的最早成熟形式跟算筹密切相关。早在春秋战国时期中国人就用小竹棍摆成行列进行计算这就是筹算。算筹摆出来的数字是十进制的加减乘除都能算除法自然也不例外。中国的筹算除法流程上很像今天我们学的竖式。被除数叫“实”除数叫“法”除的过程叫“实如法而一”。用算筹摆好后从高位到低位逐位去除每一步的商都写在被除数的上方余数继续参与下一位的计算。听到这你就明白了我们现在学的除法竖式基本骨架在两千多年前已经成形。“商”这个字的选择也很有讲究。在古汉语里“商”有“商量、估量”的意思。除法中每一步都要估一估“这一位能商几”于是古人把这个动作直接命名为“商”。后来“商”就从动词变成了名词表示除法的结果。一个字的演变恰好记录了运算从动态过程到静态结果的转变。我备课时还特意查过《九章算术》里的“经分术”也就是分数除法法则。里面已经出现了“分母乘分母分子乘分子”的操作和今天的分数乘法法则完全一致。这说明中国古代数学对分数除法的理解在汉代已经相当深入。3. 从印度到阿拉伯现代除法规则的形成3.1 印度数学家给出了系统的分数除法规则如果说古埃及和中国对除法的理解更多停留在操作层面那印度数学家做的事情就是把除法规则化、系统化。公元7世纪印度数学家婆罗摩笈多在他的著作中明确规定了有理数的运算规则包括正数、负数和零的加减乘除。他对“零”的处理尤其特别他承认“a ÷ 0”的运算只是说结果是一个分母为零的分数。虽然从今天的数学体系看这种处理不够严谨但他至少把一个模糊的概念推到了台前迫使后来的数学家必须直面“除以零”的问题。更重要的贡献在于分数除法规则的明确化。今天我们教学生“除以一个分数等于乘这个分数的倒数”这个法则的雏形在印度数学家的著作中已经可以找到。他们把“倒数”这个概念系统化并把除法彻底转化为乘法来处理。我在教学时喜欢补充一个细节印度人用“颠倒”这个词描述“取倒数”的操作用的比喻是把一个分数“头朝下倒过来”。这个说法特别形象学生一下就记住了。3.2 阿拉伯人把“alogorithm”和除法连在一起阿拉伯数学在除法演变中的角色更像一个承上启下的传播者。花拉子米的名字“al-Khwarizmi”后来演变成英文“algorithm”也就是算法的词源。他的著作把印度的十进制计数法和相关运算规则带到了阿拉伯世界后来又通过拉丁文译本传入欧洲。花拉子米在著作中详细描述了整数除法、分数除法的操作流程强调运算必须按照一定步骤机械地进行。这种“步骤化”的思想正是现代算法概念的早期雏形。他还在著作中专门讨论了如何通过验算检查除法结果做法是“商乘以除数加上余数看是否等于被除数”。这个方法今天依然写在世界各国的数学教材里。阿拉伯数学家用分数线的形式来表示分数并且明确地把分母和分子的位置固定下来这为后来“除号”的出现铺平了道路。可以说没有阿拉伯人把分数表示标准化后来欧洲数学家用一条横线表示除法就不可能那么自然。4. 一个符号折腾了上千年除号和分数线的故事4.1 分数线一条横线统一了“分”的表示分数的现代表示法源头可以追溯到阿拉伯人。他们在写分数时把分子写在横线上方分母写在横线下方这条横线就叫“分数线”。这种表示方法传到欧洲后很快被数学家接受因为它比之前各种文字描述要直观得多。但“分数线”和“除号”在一开始并不是一回事。分数线只管分数的书写除法本身还是用文字或者缩写来表示。随着代数的发展数学家越来越需要一个专门表示“除法”的符号。你可以想象如果一个算式里既要写分数又要写除号用文字描述会有多么混乱。在16世纪的欧洲人们开始试验各种除法的缩写方式。有人用一个点加一条短横表示除法有人干脆用“÷”这个符号的前身——一个横线上下各加一个点的形式。符号的统一是数学走向形式化的必然一步。4.2 “÷”到底是谁发明的今天全世界通用的“÷”符号公认最早出现在1659年出自瑞士数学家约翰·拉恩Johann Rahn的代数著作《Teutsche Algebra》。他在书中用这个符号表示除法后来英国数学家约翰·佩尔John Pell在与拉恩的交流中接触到这个符号并把它介绍给了英国数学界从此逐渐传播开来。不过要注意“÷”在早期并没有立刻被全欧洲接受。很多数学家觉得这个符号容易跟减法混淆坚持用分数线的形式表示除法。到今天英美和部分亚洲国家普遍使用“÷”但很多国际数学期刊、编程语言和科学计算软件里除法仍然用“/”表示。这个细节恰好说明数学符号的传播受习惯和印刷技术的影响远比我们想象的大。我查资料时还发现一个有趣的细节在部分欧洲国家比如挪威和丹麦“÷”这个符号曾经被用作“减号”直到很晚才统一为除号。同一个符号在不同文化里含义不同这在数学史里不算罕见。4.3 冒号“:”是莱布尼茨的贡献除了“÷”和分数线还有一个常见的除法符号是冒号“:”。这个符号的推广跟德国数学家莱布尼茨有直接关系。莱布尼茨非常在意数学符号的系统性他认为“÷”看起来像个加减号容易混乱而冒号作为除号简洁、不易混淆于是在他的论著中大力推荐使用“:”。莱布尼茨的符号理念还体现在乘法上。他建议用点“·”表示乘法避免和字母x混淆。这些符号建议后来大多被欧洲大陆的数学家接受因此在德国、法国等国家的教材里用冒号表示除法非常常见而英国和美国则保留了“÷”。我每次给五年级学生讲到这部分都会顺手在黑板上写出“÷”、“:”、“/”三种符号让他们猜哪种最古老。学生几乎都会猜“/”最古老因为电脑上最常见。真相恰恰相反“/”作为除法符号是最晚被广泛使用的它完全是因为计算机和编程语言的普及才流行起来的。科技反过来影响数学符号的传播这条线索本身就很有意思。5. 数学课上怎么用“除法的由来”激活学生5.1 一堂数学文化课的备课框架如果你的目的是把“除法的由来”变成一堂可落地的课我建议别把它上成纯粹的历史讲述课。历史只是线索主线应该始终围绕“除法在解决什么问题”和“除法的表达方式经历了哪些变化”来展开。我上课时的结构是四步第一步用一个真实问题引出两种除法让学生区分“等分除”和“包含除”第二步给出古埃及、古巴比伦、中国三种古代算法让学生分组尝试用古人的方法算题第三步展示除号、分数线、冒号的演变过程让学生猜符号对应的年代第四步回到现代讨论“为什么除以一个分数等于乘以它的倒数”用历史脉络串联起来。整节课不需要任何课件只需要黑板、粉笔和几张小卡片。关键在于学生动手尝试古人的算法这种“穿越感”会给他们留下很深的印象。5.2 课堂活动设计实例古埃及翻倍法挑战具体操作上我设计了一个“古埃及翻倍法挑战”的环节。每组学生拿到一张卡片上面写着一个除法算式比如“84 ÷ 7”要求只能通过翻倍相加的方式算出结果不准用竖式。学生一开始会很不适应因为他们习惯了直接调用乘法口诀。但很快他们就会发现规律7翻倍一次是14对应2个7再翻倍是28对应4个7再翻倍是56对应8个7。56加28正好是84所以答案就是8加4等于12。这个活动最大的价值是让学生体会到“改写”的思维方式。他们会在操作中慢慢理解除法不是靠背口诀“背”出来的而是可以通过逻辑推理“推”出来的。有学生课后跟我说“原来古人这么聪明不用乘法表也能算除法。”那一刻我就知道这节课的目标达到了。5.3 从“符号故事”到“符号约定”一节课自然升华讲完符号演变后可以顺势引导学生思考既然历史上出现过这么多除法的表示方法为什么今天我们还需要一个统一的规定这是个很有意思的开放性问题。学生会给出各种答案有人说是为了方便交流有人说是为了让不同国家的人看得懂有人说是因为计算机只能识别标准符号。这些答案其实都指向同一个本质数学符号是一种“约定”而约定需要被广泛接受才能发挥力量。这种理解比单纯记住“除号是什么”要深刻得多。以后学生进入初中、高中会遇到越来越多新符号比如根号、绝对值、求和符号如果他们理解了符号是“约定”的本质就不会把符号当成死记硬背的负担。6. 实践中的高频疑问和处理它们的经验6.1 学生总问为什么不能除以零上完这堂课之后几乎每个班都会有学生追着问为什么0不能做除数这个问题其实是个极好的教学契机。我会用乘除互逆关系来讲。如果“a ÷ 0 b”成立那根据除法的定义应该有“b × 0 a”。问题来了任何数乘以0都等于0。如果a不是0那根本找不到满足条件的b也就是没有答案如果a正好是0那b可以是任何数答案不唯一。两种情况都说明“除以0”没法给出一个确定的合理结果所以干脆规定除数不能为0。这个解释我在不同年级分别测试过。三年级的班级听到“任何数乘0都得0所以找不到答案”就足够了五年级的班级可以完整地讲完“无解和无数解”这两种情况到了初中唯一性问题就可以完全展开。同一块知识在不同年龄段讲多深本身就是教师专业能力的体现。6.2 竖式除法的算理不能只靠机械操练不少学生竖式除法算得很熟练但问他们“为什么十位上的余数要落下来接着除”他们答不上来。这背后其实是位值制的问题。竖式除法的每一步都是在按位值拆解被除数。比如计算“492 ÷ 3”第一步不是“4除以3”而是“400除以3”商写在百位余下1个百也就是100第二步则是“190除以3”之类的东西这实际上是把100拆成10个十和十位上的9个十合并成19个十再用19除以3。每一步都是前一阶段余数的“放大”和重新分配。讲位值制原理时我会用货币来类比492元是4张100元、9张10元和2张1元分给3个人先从最大面额分起分不掉的就换成下一级面额继续分。学生听完这个类比再看竖式很多就“通”了。这两个高频问题的共性是它们都不能用“记住规则”来回答必须退回到概念的原点去重新推导。而概念的原点恰恰就是我在“除法的由来”整条线索里反复强调的那些东西平均分的过程、乘除互逆的关系、位值制的拆分逻辑。学数学文化最终目的不是知道几个故事而是把散落的知识点串成一张可以灵活调用的网。我个人在实际教学中最深的体会是历史故事讲得再热闹如果没有落到算理层面下课就忘了。反过来如果只抓算理不讲由来数学就变成了冷冰冰的规则堆砌。把两者缝在一起才是这堂课真正有效的关键。本文还有配套的精品资源点击获取