数学建模是一项艺术而不是一项技术简单数学建模学习路线 第一步建立对数学建模的基本印象完全没有经验的学生可以先通过公开课和入门文章对什么是数学模型形成一个基本印象。看公开课清华大学公开课《数学模型——现实世界的理性视角》的前几课“什么是数学建模”先对数学模型有个基本的印象。读入门文章也可以查看下面的三篇文章数学建模第一课从鸡兔同笼问题谈数学建模的基本流程数学建模第三课如何写数学建模论文数学建模第四课参加数学建模比赛应该注意什么要对数学建模有个基本印象不然比赛的那三天很难熬。 第二步准备好编程工具代码方面选择最适合自己的工具即可Python如果 Python 用得比较熟练可以直接使用 Python。MATLAB如果对 Python 的数据处理不太熟悉可以下载一个 MATLAB。MATLAB 界面简洁代码简单、接近自然语言非常适合新生学习。跟着菜鸟教程或者MATLAB 基本语法指南 里的内容走一遍基本就能上手 MATLAB 了。AI 编程助手现在是 AI 编程时代常见的 AI 编程工具可以多准备几个在比赛前配置好多玩玩多熟悉熟悉。可以参考AI 编程助手完全指南里面介绍了几种常见的 AI 编程助手,虽然这是很久以前的文章但是里面的内容还是有用的。现在编程基本只要会看、会改会用AI写代码就能参赛了。 第三步熟悉常见的数学模型和算法熟悉各类模型数学模型可以分为优化规划模型、微分方程模型、数据分析 / 统计模型、评价 / 决策模型等。至少做到知道每个模型都是解决哪一类问题的。这样当比赛看到题目的时候能知道要使用哪一类模型。熟悉算法适用场景每一类数学模型都有多种不同的解法算法本身没有优劣之分。但是每个算法适应的场景都不一样熟悉每一类算法的适用场景在比赛时候能找到最合适的算法。时间来不及就专攻一类比如只看最优化和规划问题的算法。到比赛的时候再结合网上的材料和 AI 来进行建模。不理解每个模型和算法背后深奥的数学原理也没有关系。只需要对每个模型和算法的基本原理有个基本印象在比赛中能找到对应的模型和算法就行。 第四步研读历年优秀论文 比赛前把历年的优秀论文可查看全国大学生数学建模竞赛论文展示找几篇出来看一看。学习要理解建模的思路学习建模的每一个具体过程都做了什么。分析分析模型的假设是否合理。对模型的关键进行分析看模型是否有创造性结果是否合理。研究和改进模型是否有不合理的地方是否有可以改进的地方。 熟悉常用模型与算法 优化规划模型核心是在满足约束条件的前提下寻找使目标函数达到最优的决策方案。适用场景资源分配、路径规划、生产调度、设计优化、投资决策、运输问题等。数学规划类线性规划LP在满足一系列线性规则和资源限制约束条件的前提下找到能让目标如利润、效率最大化或如成本、风险最小化的最佳方案非线性规划约束条件至少有一个是非线性函数整数规划IP: 决策变量必须取整数值0-1 规划0-1 IP决策变量只能取0或1用于解决二进制优化问题动态规划将问题分解为更小的问题通过重复求解子问题来构建最终解智能优化算法解决复杂、非线性、难以直接求解的优化问题遗传算法GA求解传统数学方法难以处理的大规模、非线性、多峰且缺乏导数信息的复杂全局优化与搜索问题。模拟退火SA基于概率的随机搜索启发式算法专门用于在庞大且复杂的解空间中寻找问题的全局最优解粒子群算法PSO连续空间下的中高维、非线性、非凸函数优化以及复杂的工程参数调优问题蚁群算法ACO适用网络路由、车辆路径规划VRP以及旅行商问题TSP等基于图或网格结构的离散组合优化场景典型真题2023 A 题定日镜场的优化设计2024 B 题生成中的决策问题2025 B 题碳化硅外延层厚度的确定 数据分析 / 统计模型从数据中挖掘规律用于预测、分类、聚类数据处理等。适用场景数据预测、分类识别、聚类分析、数据处理。统计方法相关分析研究变量之间的相关程度判断指标间是否存在依存关系回归分析建立因变量与自变量之间的数学关系式用于解释与预测假设检验根据样本数据对总体参数的假设作出接受或拒绝的统计判断主成分分析PCA通过正交变换将多个相关指标降维为少数综合指标因子分析从变量群中提取共性因子用于降维与综合评价聚类分类方法从数据中自动发现分组结构或依据已有类别对样本进行判别层次聚类按相似程度逐层分类决策树通过特征划分构造树形分类随机森林基于多棵决策树的集成学习支持向量机SVM通过核函数在高维空间寻找最优分类超平面K-means基于距离的划分式聚类算法神经网络通过多层非线性变换学习复杂模式适合大规模数据预测方法回归预测利用变量间的回归关系对未知样本进行预测ARIMA基于历史时间序列预测未来趋势灰色预测对部分信息已知、部分未知的小样本序列进行短期预测⚖️ 评价 / 决策模型对多个方案或对象进行综合评价、排序或优选辅助决策。适用场景方案优选、综合评估、排序比较、风险评价、绩效评价、选址决策等。主观赋权法依靠专家经验或主观判断确定指标权重层次分析法AHP将复杂问题分解为层次结构通过两两比较确定权重模糊综合评价处理好、较好、一般这类模糊评价问题客观赋权法依据数据本身的离散程度与信息量确定权重熵权法根据指标变异程度计算熵值确定权重数据差异越大权重越高综合排序法对多指标进行标准化与聚合实现方案排序优选TOPSIS多方案优选找最接近理想方案的对象灰色关联分析分析因素与目标之间的关联强弱优化规划模型是最常见的数学模型而且优化规划的相关算法在高中和大学课堂上也有涉及对于一般学生来说是相对容易掌握的模型。如果你不是统计专业的学生可以优先攻略优化规划方法再考虑其他模型。 数学建模应该具有的能力进行数学建模需要具备以下五种能力它们构成一条从基础到创造的递进链条 想象力在已有形象的基础上根据新的信息在头脑中创造出新形象的能力是一种形象思维活动可以通过细心观察、善于联想、勇于突破思维定势如运用逆向思维、发散思维等方式来培养。 洞察力透过现象看到本质对复杂事物进行分析和判断的能力需要集中注意力、刻苦工作、勤于思考适应和创造浓厚的学术环境培养对科学研究敏锐的感觉。 类比法由一类事物具有的某种属性推测类似事物也具有这种属性的推理方法因为同一个数学模型可以描述不同领域的对象所以联想、类比是建模中常用的方法。当然类比的结果是否正确需要由实践来检验。 较广博的数学知识对于已经学过微积分、线性代数、概率论等基础课的大学生来说还需要了解数值计算、数理统计、数学规划、数值模拟等学科中那些直接与应用相关的内容如怎样用这些方法建模、怎样在计算机上用数学软件实现、怎样解释模型求解的结果等并不需要深入了解这些学科的数学原理。 深入实际调查研究的决心和能力与埋头撰写纯数学论文不同做数学建模首先要有到实际中去的决心和勇气并且善于调查研究掌握第一手材料。 如何提高数学建模能力知道了应该具备哪些能力之后更重要的是在实践中逐步提高这些能力主要通过以下三个途径。 案例研究学习、分析、评价、改进和推广案例研究是学习数学建模课程的主要方法之一这与法学、管理学的学习方法有些相近。学习课堂上讲的和教材里写的别人做过的模型不能听过、看过就算学了应该通过学习、分析、评价、改进和推广几个步骤来逐步深化学习首先是弄懂它理解模型的思想和方法分析再分析它为什么这样做哪些地方是关键评价评价有什么优缺点改进和推广最后如果可能的话去尝试改进、推广它。对具体的建模案例还可以从以下角度做深入研究对模型假设进行分析对建模的关键进行分析对建模过程做深入研究 参加数学建模竞赛做自己的模型学习数学建模如果只停留在学别人的模型上是远远不够的一定要亲自动手踏踏实实地做几个实际题目。参加数学建模竞赛为同学们通过亲手做课题更快地提高用数学建模方法分析、解决实际问题的能力搭建了广阔的平台。 赛后继续应该结合三天的参赛总结一下整个竞赛准备过程的收获及经验教训。如果有兴趣和精力对赛题作进一步钻研或者对赛题进行扩展研究可以寻求教师和其他同学共同参加更希望通过竞赛激发同学参与数学建模相关实践活动的兴趣。作者majorArcs原文链接 https://k-hengzhou.github.io/posts/MATH-MODELING-SECOND-COURSE/