在电磁仿真这条路上走得久了，你会发现一个很有意思的现象：同一套积分方程、同一份网格、同一个求解器，换一组基函数，结果能从"和实测对得上"变成"差出十几dB"。金属介质复合结构的矩量法尤其如此——金属表面只有切向电流，介质表面却同时存在等效电流和等效磁流，界面两侧的场还要靠边界条件缝合。线性基函数在这个场景里扮演的角色，远不是教科书上那句"把未知函数展开成一组已知函数的线性组合"能概括的。它真正决定的是：离散之后，电荷账本还能不能平；跨介质棱上的法向分量还能不能连续；矩阵的条件数会不会在低频段直接爆掉。这篇内容面向已经写过或者正在写矩量法程序的人，尤其是卡在"能跑出数但结果不对"这个阶段的同行。我会从基函数承担的物理职责讲起，把脉冲、三角、分段正弦这几类标量基函数的取舍逻辑拆开，再进入面元上的矢量线性基函数，最后落在金属-介质复合界面上最容易被忽略的拼接规则和几个实打实的坑。
1. 基函数不是"插值工具"：它在矩量法里真正管的是电荷账本
很多人第一次接触矩量法，会把基函数理解成数值分析里的插值基——给定若干采样点，用一组基函数拟合未知曲线。这个理解在纯数学层面没错，但放到电磁积分方程里就偏了。矩量法求解的是算子方程，未知量是表面电流密度或者等效电流密度，基函数的作用是把连续分布的电流近似成有限个"电流元"的叠加。电流元的选取方式直接决定了电荷密度怎么分布，因为电荷和电流之间隔着一条连续性方程。
1.1 离散链条上基函数所处的位置
完整的离散链条大概是这样：先由等效原理建立积分方程，把未知量写成一组基函数的线性组合，再用测试函数做内积，把算子方程转成矩阵方程。基函数出现在第一步，测试函数出现在第二步，两者共同决定了阻抗矩阵的每一个元素。写成式子就是未知电流展开加上加权残差：
J(r) ≈ Σ a_n f_n(r) <w_m, L(f_n)> = <w_m, g>这里的f_n是基函数，w_m是测试函数，L是积分微分算子。基函数一旦选定，L(f_n)就固定了，后面的所有数值误差都从这里长出来。选脉冲基函数，L(f_n)在段边界是不连续的；选三角基函数，L(f_n)在两个相邻段上是分段线性的。这个差别在做自阻抗项积分的时候会放大成完全不同的奇异积分处理策略。
我见过不少人调程序，先怀疑网格不够密，再怀疑积分点不够多，最后才回头检查基函数。实际上网格密度和积分精度都是"收敛速度"问题，基函数选错是"收敛到错误答案"问题，两者性质完全不同。前者加密能救，后者加密只会让错误答案更精致。
1.2 支撑紧致性与连续性：两项绕不开的硬指标
挑选基函数，绕不开两个硬指标。第一个是支撑紧致性，也就是单个基函数的非零区域要尽量小。支撑越小，阻抗矩阵越稀疏，填充和求解的代价越低。脉冲基函数的支撑就是一个段，三角基函数是两个相邻段，RWG基函数是两个共享棱的三角形，都属于紧支撑。第二个是连续性，电流在相邻基函数的交界处必须满足物理上要求的连续条件。金属表面电流的切向分量连续，法向分量为零；介质表面等效电流的切向分量连续，法向分量允许跳变，跳变量正好等于表面电荷密度。
这两个指标经常打架。支撑最紧致的脉冲基函数恰恰是不连续的，连续性最好的分段正弦基函数支撑又偏大。工程上的选择本质是在"矩阵规模"和"电荷守恒"之间找平衡点。对于电小尺寸结构，矩阵规模不是瓶颈，优先保连续性；对于电大尺寸结构，稀疏性带来的收益更明显，可以用不连续基函数配合额外的电荷修正项。
1.3 金属介质复合结构对基函数的额外要求
纯金属结构的矩量法只需要处理一种未知量——表面电流。金属介质复合结构不一样，介质区域要用等效原理替换，表面同时出现等效电流J和等效磁流M。这意味着基函数要同时服务于两类未知量，而且在金属和介质的交界棱上，两类未知量的边界条件必须匹配。
具体来说，金属表面的电流只有切向分量，介质表面的等效电流在切向连续、法向跳变。当一条棱同时属于金属三角形和介质三角形时，介质侧的电流法向分量必须为零，否则就违背了金属表面的边界条件。这个约束在基函数层面就要处理掉，不能留到矩阵方程阶段靠罚函数或者后处理补救。我后面会专门用一节讲这个拼接规则，因为这是复合结构程序里最容易出错的地方之一。
2. 标量线性基函数的三条路线：脉冲、三角与分段正弦
先从一维问题切入。细线天线、线栅结构这类问题，未知量沿线的电流分布，标量基函数就够了。三条常见路线分别是脉冲基函数、三角基函数和分段正弦基函数，它们的历史都很长，但至今仍在大量程序里出现，原因各不相同。
2.1 脉冲基函数：最省事的方案与它埋下的电荷累积隐患
脉冲基函数把细线分成若干段，每一段上的电流近似为常数。数学上简单到不能再简单：第 n 个基函数在第 n 段上取 1，其余段取 0。矩阵元素的积分也容易算，因为基函数是常数，可以提到积分号外面。
def pulse_basis(seg_index, seg_length, n_segments): # 第 seg_index 段上取 1，其余为 0 coeff = [0.0] * n_segments coeff[seg_index] = 1.0 return coeff问题出在段与段之间的边界上。电流在边界处发生跳变，而电荷密度和电流的导数直接相关。脉冲基函数在段内导数为零，在边界处导数变成冲激函数，等效于在每一个段边界上都堆了一坨点电荷。这坨电荷是数值离散人为造出来的，物理上并不存在。它会污染近场计算，让输入阻抗出现虚部偏差，在阵列结构里还会让互耦系数算不准。
脉冲基函数并非一无是处。它的矩阵填充速度快，在电大尺寸、只需要远场粗略估计的场合仍然可用。但如果你的目标是精确的输入阻抗或者近场分布，脉冲基函数带来的伪电荷迟早会来找你麻烦。我个人的经验是：用脉冲基函数算出来的电流分布，在段边界处会看到明显的锯齿状抖动，这个抖动就是伪电荷的直接体现。
2.2 三角（屋顶）基函数：用连续性换来的稳定
三角基函数把一段电流分摊到两个相邻的段上，形成一个三角形的形状：在第 n 段上从 0 线性上升到峰值，在第 n+1 段上从峰值线性下降到 0。这样相邻基函数在公共节点处的值都是零，电流在整个线上连续。
def triangular_basis(node_index, nodes, n_segments): # 在第 node_index-1 段上线性上升，第 node_index 段上线性下降 values = [0.0] * (n_segments + 1) for i in range(n_segments): if i == node_index - 1: values[i] = 1.0 # 峰值在 node_index 处 elif i == node_index: values[i] = 1.0 return values连续性的收益是实打实的。电流连续意味着电荷密度不再出现冲激，而是分段常数，数值上温和得多。阻抗矩阵的条件数通常比脉冲基函数低一到两个数量级，迭代求解的收敛速度也更快。代价是每个基函数覆盖两个段，矩阵的非零元素数量大约翻倍，填充时间相应增加。
三角基函数还有一个容易被忽略的好处：它天然满足电流在端点处为零的边界条件。细线天线的端点电流必须为零，三角基函数在第一个节点和最后一个节点处的值本来就是零，不需要额外施加约束。脉冲基函数做不到这一点，端点处的电流必须靠额外的方程强行压到零，处理不好会引入反射。
2.3 分段正弦基函数：谐振长度下的精度红利与积分代价
分段正弦基函数在每一段上按正弦规律变化，相邻段之间保持连续。它的形状是：
f_n(s) = sin(k(s - s_n)) / sin(k Δ)其中k是波数，Δ是段长。这个形式不是随便选的，它正好是细线天线在谐振附近的近似解形式。当段长接近半波长的整数分之一时，分段正弦基函数能用很少的未知量把电流分布描述得很准，这是它最大的卖点。
代价在积分上。分段正弦基函数和格林函数做内积的时候，被积函数里出现正弦和指数函数的乘积，解析积分表达式冗长，数值积分又需要更多的积分点才能收敛。在宽带扫频的时候，k随频率变化，基函数的形状跟着变，每一频点都要重新计算基函数的系数，填充时间比三角基函数高出一截。
我的实际体会是：分段正弦基函数适合窄带、高精度、结构简单的场景，比如单根偶极子的输入阻抗计算。一旦结构变复杂、频带变宽，它的积分代价和实现复杂度就不划算了，三角基函数配合足够密的网格能达到接近的精度，代码还短得多。
2.4 三类标量基函数的横向对比与选型建议
把三类基函数放在一张表里对照，取舍会更清楚：
| 基函数类型 | 连续性 | 每基函数覆盖段数 | 积分复杂度 | 伪电荷风险 | 适用场景 |
|---|---|---|---|---|---|
| 脉冲 | 不连续 | 1 | 低 | 高 | 电大尺寸粗估、远场快速扫描 |
| 三角 | 连续 | 2 | 中 | 低 | 通用细线问题、宽带扫频 |
| 分段正弦 | 连续 | 2（可扩展） | 高 | 低 | 窄带高精度、谐振结构 |
选型的时候我一般遵循一条经验规则：先用三角基函数把问题跑通，如果发现收敛所需未知量明显多于理论估计，再考虑换分段正弦基函数压缩未知量。反过来，如果矩阵规模已经大到内存吃紧，才退回到脉冲基函数做粗算。这个顺序不要颠倒，否则你会在伪电荷带来的各种诡异现象里浪费大量时间。
3. 面元上的矢量线性基函数：RWG的构造逻辑与散度约束
从细线走到面元，未知量从标量变成矢量，基函数的构造思路要重新设计。面元上的电流是二维分布，有方向，还要满足法向分量的边界条件。RWG基函数是这一领域最经典的选择，它的构造逻辑值得逐层拆开看，因为后面处理介质界面的时候，所有规则都是从它这里延伸出去的。
3.1 从线到面：为什么矢量基函数必须盯住法向分量
面元上的电流是切向矢量，但它跨越公共棱的时候，法向分量的连续性才是真正要保证的东西。原因在于边界条件：金属表面的电流法向分量为零，介质表面的电流法向分量跳变等于表面电荷密度。如果基函数在公共棱上法向分量不连续，表面电荷就会凭空产生或者凭空消失，散射场的计算结果直接错掉。
这就是为什么面元基函数不能用简单的"每个三角形上一个常矢量"来构造。常矢量在三角形边界处的法向分量取决于方向，相邻三角形的常矢量之间没有任何约束，法向分量必然跳变。矢量基函数必须让相邻三角形共享同一组自由度，并且在公共棱上把法向分量绑死。
3.2 RWG基函数的几何定义与归一化系数的来历
RWG基函数定义在两个共享一条棱的三角形上，公共棱的长度记为l_n，两个三角形的面积分别记为A_n^+和A_n^-。它的表达式是：
f_n(r) = (l_n / (2 A_n^+)) * ρ_n^+(r) , r 在 T_n^+ 内 f_n(r) = (l_n / (2 A_n^-)) * ρ_n^-(r) , r 在 T_n^- 内ρ_n^+是从T_n^+的不在公共棱上的那个顶点指向观察点r的矢量，ρ_n^-则是从观察点指向T_n^-对应顶点的矢量。系数l_n / (2 A_n^+)不是拍脑袋定的，它的作用是让基函数在公共棱上的法向分量恰好等于 1。
推导过程很直接：三角形的高h = 2A/l，ρ在垂直于棱的方向上的分量正好等于这个高，乘以系数l/(2A)之后，法向分量变成l/(2A) * (2A/l) = 1。这个归一化是整个RWG构造的核心，它把基函数的物理意义固定成"沿棱的单位法向电流"，后面的散度、电荷、连续性全都建立在这个基础上。
def rwg_basis(tri_plus, tri_minus, edge_length): # tri_plus, tri_minus 为两个三角形的顶点坐标 A_plus = triangle_area(tri_plus) A_minus = triangle_area(tri_minus) coef_plus = edge_length / (2.0 * A_plus) coef_minus = edge_length / (2.0 * A_minus) return coef_plus, coef_minus写这段代码的时候有一个必须检查的点：两个三角形的顶点顺序必须保证外法向一致。如果一边的顶点是逆时针、另一边是顺时针，ρ的方向就会反，基函数的符号跟着反，散度的符号也反。这种错误在程序里不会报错，只会让结果莫名其妙地偏掉，排查起来非常痛苦。
3.3 散度与表面电荷密度的对应关系
RWG基函数的散度在两个三角形内分别是常数：
∇·f_n = + l_n / A_n^+ , 在 T_n^+ 内 ∇·f_n = - l_n / A_n^- , 在 T_n^- 内这个散度直接对应表面电荷密度，因为连续性方程给出ρ_s = -(1/jω) ∇·J。把整个基函数的散度在两个三角形上积分，结果是+l_n和-l_n，净电荷为零。这就是RWG基函数保证电荷守恒的数学根源：电流从正三角形流入公共棱，再从公共棱流出到负三角形，流入等于流出，不在任何地方堆积。
这个性质在金属表面是必须的，因为金属表面不能存储净电荷（除非有外部注入）。在介质表面则要小心，介质表面允许电荷积累，但积累量必须由法向场跳变决定，不能是基函数构造带来的伪电荷。RWG基函数的零净电荷性质在这里反而成了一个约束：介质表面的真实电荷分布要靠法向场的跳变来体现，基函数本身不能自带电荷。
3.4 公共棱上法向分量连续性的验证方法
写完RWG基函数，一定要做一次数值验证：在公共棱上取若干采样点，计算基函数在两个三角形侧的法向分量，看它们是否都等于 1。这个验证只需要几行代码，却能提前发现顶点顺序、面积计算、方向定义上的大部分错误。
def check_normal_continuity(edge_point, edge_normal, tri_plus, tri_minus): f_plus = rwg_value(edge_point, tri_plus, side='plus') f_minus = rwg_value(edge_point, tri_minus, side='minus') n_plus = dot(f_plus, edge_normal) n_minus = dot(f_minus, -edge_normal) assert abs(n_plus - 1.0) < 1e-10, "正侧法向分量不等于1" assert abs(n_minus - 1.0) < 1e-10, "负侧法向分量不等于1"实测下来，最容易出问题的地方是退化三角形。当两个三角形中有一个面积趋近于零时，归一化系数l/(2A)会爆炸，基函数的值变成天文数字，矩阵元素跟着失控。网格生成阶段就要过滤掉退化三角形，或者在基函数计算时加一个面积下限保护，不要指望求解器能容忍这种病态元素。
4. 金属-介质复合界面上的基函数拼接：J与M的连续性怎么保证
到了复合结构，前面的规则要叠加使用。金属表面只有等效电流J，介质表面同时有J和M，两种未知量的基函数展开方式相同，但边界条件不同。界面上的拼接规则如果搞错，方程组的解会收敛到一个物理上不存在的状态，残差很小但结果全错——这是最难排查的一类问题。
4.1 表面等效原理下的未知量布局
按照表面等效原理，介质区域被替换成等效电流和等效磁流，它们分布在介质表面两侧。对于闭合介质体，外表面和内表面各有一套未知量；对于金属介质复合结构，金属表面和介质表面的交界处要特别处理。
一个常见的布局方式是：金属表面只布置J的RWG基函数，介质表面同时布置J和M的RWG基函数。金属和介质的交界棱上，介质侧的J基函数必须满足法向分量为零的约束，因为这条棱同时属于金属表面，金属表面不允许电流有法向分量。
4.2 公共棱上等效电流与等效磁流的连续性约束
介质表面的等效电流切向连续、法向跳变，跳变量对应表面电荷；等效磁流的情况类似，切向连续、法向跳变对应等效磁荷。用RWG基函数展开的时候，切向连续性由基函数本身保证，法向跳变由散度体现，这是RWG构造的自然结果，不需要额外处理。
真正需要额外处理的是介质和金属的交界棱。这条棱上的介质侧基函数，其法向分量在棱上必须为零。实现方式有两种：一种是直接把这条棱从介质侧的基函数列表中剔除，另一种是在基函数的系数上施加约束。前一种方式更干净，但会导致交界处的电流展开不完整；后一种方式保留了自由度，但需要额外的约束方程。
我倾向于第一种方式，并且在网格划分阶段就把金属-介质交界棱标记出来，让基函数生成器在遍历棱的时候直接跳过这些棱。这样生成的基函数集合天然满足边界条件，矩阵方程不需要额外的约束行，条件数也更稳定。
4.3 跨界面棱的基函数归属规则
一条棱可能同时属于金属三角形和介质三角形，也可能只属于其中一种。归属规则要写清楚，不然会出现同一个自由度被重复计数或者完全遗漏的情况。我的做法是给每条棱打一个类型标签：
| 棱的类型 | 两侧三角形 | J基函数 | M基函数 |
|---|---|---|---|
| 金属-金属 | 金属 + 金属 | 保留 | 不生成 |
| 介质-介质 | 介质 + 介质 | 保留 | 保留 |
| 金属-介质 | 金属 + 介质 | 保留（仅金属侧） | 不生成 |
| 边界棱 | 单侧 | 不生成 | 不生成 |
金属-介质棱上的J基函数只保留金属侧的那一半，介质侧不生成对应的J基函数。这样处理之后，交界处的电流只有切向分量，法向分量自动为零。这个规则看起来简单，但如果没有在数据结构层面明确表达，代码里很容易出现"这条棱到底算谁的"的混乱。
4.4 体极化电流基函数与表面基函数的耦合
如果介质区域不采用表面等效原理，而是采用体等效原理，介质内部会出现体极化电流，需要体基函数来展开。体基函数通常是四面体上的线性基函数或者常矢量基函数，它和表面基函数之间的耦合项要单独计算。
体基函数和表面基函数的耦合，本质上是体积分和面积分的混合。数值实现的时候，体积分的积分点要避开表面附近，因为表面附近的场有奇异性；面积分的积分点要避开棱附近，理由相同。我一般会在体积分和面积分之间留一个薄层的缓冲，缓冲层内的贡献用解析近似补上，这样能显著降低积分点数量，同时保证精度。
5. 数值落地时的四大坑：奇异积分、条件数、低频崩溃与伪电荷
基函数的理论再漂亮，落到代码里还是会遇到一堆具体问题。这一节把我踩过的、见过的坑集中列一下，每个坑都给出可操作的排查思路，而不是一句"注意处理"就带过。
5.1 自阻抗项里 1/R 奇异积分的处理手法
RWG基函数的自阻抗项，也就是同一个基函数和自身做内积的那一项，被积函数里有1/R的奇异性。当观察点和源点重合时，1/R发散，数值积分直接算会得到无穷大或者剧烈振荡的结果。
常见的处理手法有三种。第一种是奇异性提取，把1/R拆成奇异部分和正则部分，奇异部分用解析公式算，正则部分用数值积分。第二种是Duffy变换，把三角形上的积分区域映射到一个正方形，让奇异点落在正方形的角上，雅可比行列式在奇异点附近趋近于零，正好抵消1/R的奇异性。第三种是局部坐标变换，把积分点集中到奇异点附近，用更密的采样处理。
def duffy_transform(u, v): # 把单位正方形映射到三角形，奇异点落在 u=0, v=0 xi = u eta = u * v jacobian = u return xi, eta, jacobian我实测下来，Duffy变换的实现最简单，精度也够用，缺点是积分点数量要比普通高斯积分多一些。对于自阻抗项，我一般用 7 点或者 9 点的Duffy积分，邻接项用普通高斯积分，远场项用低阶积分，这样能在精度和速度之间取得不错的平衡。
5.2 基函数阶数、网格密度与矩阵条件数的三角关系
基函数的阶数、网格的密度、矩阵的条件数，这三者之间有一个不太直观的关系。通常的直觉是网格越密精度越高，但条件数会跟着恶化。基函数阶数越高，单个基函数覆盖的范围越大，条件数反而可能改善，因为未知量之间的耦合更平滑。
具体到RWG基函数，网格密度一般取每波长 8 到 10 个三角形边长，对应每波长大约 10 到 20 个基函数。低于这个密度，基函数无法分辨电流的快速变化，精度掉得很快；高于这个密度，条件数上升，迭代求解的收敛速度变慢，而且收益递减。
| 网格密度（每波长基函数数） | 相对精度 | 条件数量级 | 建议用途 |
|---|---|---|---|
| 5 到 8 | 低 | 10^2 | 快速预估、优化循环内层 |
| 10 到 15 | 中 | 10^3 | 通用仿真 |
| 20 到 30 | 高 | 10^4 到 10^5 | 高精度校核、近场分析 |
| 大于 40 | 收益递减 | 10^6 以上 | 一般不推荐 |
这张表里的数字是经验值，具体问题会有偏差，但量级关系是稳定的。如果你发现条件数比表里高出一到两个数量级，先检查基函数的顶点顺序和面积计算，再检查网格里有没有细长三角形，这两个原因占了绝大多数。
5.3 低频崩溃现象与基函数选择的关系
低频崩溃是电场积分方程的老问题：频率趋近于零的时候，矩阵的条件数急剧恶化，求解器要么不收敛，要么收敛到一个错误的结果。根源在于电场积分方程里电流项和电荷项的量级差异，频率越低，电荷项占比越大，矩阵的两个子块量级悬殊，数值上接近奇异。
从基函数的角度看，低频崩溃和基函数的散度性质直接相关。RWG基函数的散度是常数，对应电荷项，这部分在低频时主导矩阵；电流项对应的部分在低频时趋近于零。解决低频崩溃的经典方法是把电流分解成环电流和树电流，环电流无散度，树电流有散度，两者分开处理，条件数就能恢复到正常量级。
还有一种是增广型公式，在方程里额外引入一个标量未知量，把电荷项显式分离出来。这种方法实现起来比环树分解简单，但矩阵规模会增大，适合中等规模的问题。我自己的经验是：频率低于第一谐振点十分之一的时候，就要考虑低频崩溃了，不要等到求解器报错才回头处理。
5.4 伪电荷的识别与自检指标
伪电荷是基函数不连续带来的数值产物，识别它有几个实用的自检指标。第一个指标是电流分布的抖动：如果沿一条直线取电流采样，发现相邻采样点之间有规律的锯齿状振荡，振荡的周期和网格周期一致，基本可以确定是伪电荷。第二个指标是电荷密度的积分：把散度在整个表面上积分，理论上应该为零（对于闭合金属表面），如果积分结果明显偏离零，说明基函数的电荷守恒被破坏了。
第三个指标是能量守恒：计算辐射功率和输入功率的比值，如果比值明显大于 1，说明有数值源在注入能量，伪电荷是常见嫌疑之一。这三个指标我一般会写成自动化检查脚本，每次改完基函数代码就跑一遍，比等结果出来再排查省事得多。
6. 一套可复现的验证流程：从单棱电流到介质加载平板
理论讲完，最后给一套可以照着做的验证流程。这套流程分四步，每一步都有明确的预期结果和判据，适合刚写完基函数模块、还不确定对不对的阶段。
6.1 单根细线天线的电流分布校验
第一步用细线天线验证标量基函数。取一根半波长的细线，用三角基函数展开电流，计算输入阻抗。预期结果是输入阻抗的实部在 70 到 75 欧姆附近，虚部接近零。如果实部偏离超过 10%，先检查基函数在端点处是否为零，再检查积分点的数量。
这一步的意义在于把标量基函数的正确性单独隔离出来。如果细线天线的结果都不对，后面的面元基函数和复合结构根本不用往下做，先把这里的问题解决干净。
6.2 金属平板的表面电流对比
第二步用金属平板验证RWG基函数。取一块边长约一个波长的方形平板，平面波正入射，计算表面电流分布。预期结果是电流在平板中心区域比较均匀，边缘处出现绕射引起的增强或者减弱。把计算结果和文献里的经典曲线对比，主瓣范围内的相对误差应该控制在 5% 以内。
这一步最容易暴露的问题是顶点顺序和法向方向。如果电流分布整体翻转了180度，或者出现明显的对称性破缺，几乎可以肯定是顶点顺序的问题。我的做法是在网格生成之后、基函数计算之前，统一把所有三角形的顶点顺序调整成逆时针，从源头上避免这个问题。
6.3 介质块加载后的场分布检查
第三步在金属平板旁边放一块介质块，验证复合界面的基函数拼接。预期结果是介质块内部的场强明显低于外部，介质表面的等效电流在金属-介质交界棱处法向分量趋近于零。检查方法是沿交界棱取若干采样点，计算电流的法向分量，绝对值应该小于切向分量的 1%。
如果法向分量明显不为零，说明交界棱的基函数归属规则没有正确实施。回头检查第 4.3 节那张表，逐条核对棱的类型标签和基函数的生成条件，问题一般出在金属-介质棱被错误地当成了介质-介质棱。
6.4 收敛性扫描的实操参数设置
最后一步做收敛性扫描，确认结果的稳定性。扫描三个维度：网格密度从每波长 8 个基函数增加到 20 个，积分点数量从 3 点增加到 7 点，基函数阶数从线性增加到二阶。每一次扫描记录输入阻抗或者散射截面的变化量。
判据是：网格密度增加一倍，结果变化小于 2%；积分点增加一倍，结果变化小于 0.5%。如果两个判据都满足，说明离散误差和积分误差都已经收敛，结果可以采信。如果某一个维度怎么加密都不收敛，问题大概率不在数值精度，而在基函数的构造或者边界条件的实施，需要回到前面的章节重新检查。
这套流程跑下来大概需要半天到一天的时间，取决于你对代码的熟悉程度。我的建议是把它固化成脚本，和基函数代码放在同一个仓库里，每次修改基函数都跑一遍。基函数是整个矩量法程序的地基，地基出问题，上面盖什么都是歪的。这一点我在实际项目里体会太深了，宁可多花时间在验证上，也不要等到结果对不上再从头排查。
