物质扩散模型课件

沿用《热传导模型-课件》中的表 2-3 数据。

1. 模型思想

物质扩散模型把用户偏好看作一种可以在二部图上流动的“资源”或“能量”。

• 每个项目节点把资源平均分给相邻用户；
• 每个用户节点把收集到的资源再平均分给相邻项目；
• 整个扩散过程满足资源守恒——资源既不会凭空产生，也不会凭空消失。

与热传导模型的区别：

2. 推荐流程

步骤 1：初始化资源

目标用户购买过的项目资源设为1，其余为0：

S(0)=Ru⋅S^{(0)} = R_{u\cdot}S(0)=Ru⋅​

步骤 2：项目 → 用户（式 2-20）

每个项目把资源均分给相邻用户：

bu=∑j∈usjk(Ij)b_u = \sum_{j\in u} \frac{s_j}{k(I_j)}bu​=j∈u∑​k(Ij​)sj​​

步骤 3：用户 → 项目（式 2-21）

每个用户把资源均分给相邻项目：

sj′=∑u∈jbuk(Uu)s'_j = \sum_{u\in j} \frac{b_u}{k(U_u)}sj′​=u∈j∑​k(Uu​)bu​​

合并后得到转移矩阵WP：

WPj,i=∑u∈j∩i1k(Ii)⋅k(Uu)WP_{j,i} = \sum_{u\in j\cap i} \frac{1}{k(I_i)\cdot k(U_u)}WPj,i​=u∈j∩i∑​k(Ii​)⋅k(Uu​)1​

矩阵形式为：

S′=WP⋅SS' = WP \cdot SS′=WP⋅S

稳态满足：

S∗=WP⋅S∗S^* = WP \cdot S^*S∗=WP⋅S∗

3. 案例数据

表 2-3：用户购买记录

项目度：

• k(I_a) = 3
• k(I_b) = 3
• k(I_c) = 1
• k(I_d) = 2
• k(I_e) = 1

目标用户：A，初始资源：

S(0)=(0,1,0,1,0)⊤S^{(0)} = (0, 1, 0, 1, 0)^\topS(0)=(0,1,0,1,0)⊤

4. 手动演算

4.1 构造转移矩阵WP

WPj,i=∑u∈j∩i1k(Ii)⋅k(Uu)WP_{j,i} = \sum_{u\in j\cap i} \frac{1}{k(I_i)\cdot k(U_u)}WPj,i​=u∈j∩i∑​k(Ii​)⋅k(Uu​)1​

例如，从项目b扩散到项目a：

• 共同购买用户为 B、C
• k(I_b)=3（源项目 b 的度）
• k(U_B)=3,k(U_C)=3

WPa,b=13×3+13×3=29WP_{a,b} = \frac{1}{3\times 3} + \frac{1}{3\times 3} = \frac{2}{9}WPa,b​=3×31​+3×31​=92​

完整矩阵：

WP=(7/182/91/31/61/22/97/181/35/1201/91/91/3001/95/1805/1201/60001/2) WP = \begin{pmatrix} 7/18 & 2/9 & 1/3 & 1/6 & 1/2 \\ 2/9 & 7/18 & 1/3 & 5/12 & 0 \\ 1/9 & 1/9 & 1/3 & 0 & 0 \\ 1/9 & 5/18 & 0 & 5/12 & 0 \\ 1/6 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \end{pmatrix}WP=​7/182/91/91/91/6​2/97/181/95/180​1/31/31/300​1/65/1205/120​1/20001/2​​

每列和为 1，说明物质扩散是列随机的，满足资源守恒。

4.2 第一轮扩散

初始资源S⁽⁰⁾ = (0, 1, 0, 1, 0)ᵀ，只取WP的第 2 列（b）和第 4 列（d）相加：

第一轮结果：

S(1)=(718, 2936, 19, 2536, 0)⊤S^{(1)} = \left(\frac{7}{18},\ \frac{29}{36},\ \frac19,\ \frac{25}{36},\ 0\right)^\topS(1)=(187​,3629​,91​,3625​,0)⊤

4.3 多轮迭代结果

4.4 生成推荐

去掉 A 已购买的b和d：

• Top-1 推荐：项目 a
• Top-2 推荐：项目 a 和 c

5. 与热传导模型的对比

在完全相同的数据和初始条件下：

• 物质扩散倾向于把资源保留在高度项目附近（a 的度最高），推荐结果更“热门”；
• 热传导倾向于提升低度项目的温度（c 的度为 1），推荐结果更“长尾”。

6. Python 实现

importnumpyasnp# 用户-项目反馈矩阵R=np.array([[0,1,0,1,0],# A: b, d[1,1,1,0,0],# B: a, b, c[1,1,0,1,0],# C: a, b, d[1,0,0,0,1],# D: a, e],dtype=float)user_deg=R.sum(axis=1)item_deg=R.sum(axis=0)# 物质扩散转移矩阵 WP# WP_{j,i} = sum_u r_{u,j}*r_{u,i} / (k(I_i)*k(U_u))n_items=R.shape[1]WP=np.zeros((n_items,n_items))forjinrange(n_items):foriinrange(n_items):foruinrange(R.shape[0]):ifR[u,j]andR[u,i]:WP[j,i]+=1.0/(item_deg[i]*user_deg[u])print("WP 转移矩阵：")print(np.round(WP,4))print("每列和（应为 1）：",np.round(WP.sum(axis=0),4))# 初始资源：A 购买过 b, ds=np.array([0.,1.,0.,1.,0.])print("\n迭代过程：")foriinrange(6):print(f"第{i}轮:{np.round(s,4)}")s=WP @ s# 推荐items=['a','b','c','d','e']purchased={1,3}# b, dcandidates=[(items[j],score)forj,scoreinenumerate(s)ifjnotinpurchased]candidates.sort(key=lambdax:x[1],reverse=True)print("\n候选项目排序（去掉 A 已购买的 b, d）：")foritem,scoreincandidates:print(f"{item}:{score:.4f}")

运行结果

WP 转移矩阵： [[0.3889 0.2222 0.3333 0.1667 0.5 ] [0.2222 0.3889 0.3333 0.4167 0. ] [0.1111 0.1111 0.3333 0. 0. ] [0.1111 0.2778 0. 0.4167 0. ] [0.1667 0. 0. 0. 0.5 ]] 每列和（应为 1）： [1. 1. 1. 1. 1.] 迭代过程： 第0轮: [0. 1. 0. 1. 0.] 第1轮: [0.3889 0.8056 0.1111 0.6944 0. ] 第2轮: [0.4815 0.7315 0.1667 0.5556 0.0556] 第3轮: [0.5267 0.679 0.1893 0.4861 0.1111] 第4轮: [0.556 0.6481 0.1999 0.4491 0.1389] 第5轮: [0.5719 0.6276 0.2013 0.4282 0.1667] 候选项目排序（去掉 A 已购买的 b, d）： a: 0.5719 c: 0.2013 e: 0.1667

7. 小结

• 物质扩散模型把用户偏好看作守恒的资源流。
• 核心公式：S' = WP · S，转移矩阵按“源项目”的度归一化。
• 推荐结果倾向于热门项目，计算简单、物理意义清晰。
• 与热传导模型互补：一个偏热门，一个偏长尾。