Jason Liu 调侃 OpenAI 新模型求解 Navier-Stokes 千禧年难题事情是这样的Jason Liu 在社交平台上调侃了一波说某个新模型如果真能搞定 Navier-Stokes 方程那数学圈和物理圈这几十年算是白干了。这条调侃转发量不低评论区吵成一片——有人觉得 AI 迟早要掀翻数学的桌子有人觉得这纯属外行看热闹。作为长期用大模型做科研辅助、也写过不少流体模拟代码的人我看到这条消息的第一反应是这个问题值得掰开揉碎聊一聊因为AI 能不能解 Navier-Stokes 方程这句话本身就是个语义陷阱里面至少装了三个完全不同的问题。Navier-Stokes 方程对于搞流体、搞CFD、搞气候模拟的人来说就是日常普通人可能只在菲尔兹奖新闻里见过它。它是描述流体运动的一组偏微分方程从飞机机翼升力到血液流动从天气系统到城市通风全都靠它。但与此同时它又是一个悬赏百万美元的千禧年难题——Clay 数学研究所在 2000 年列出七个问题NS 方程的解的存在性与光滑性就是其中之一。一边是工程师天天拿它算东西一边是数学家连解是否存在都没能严格证明这个巨大的落差本身就很有意思。这篇文章我想从一个从业者的视角把这场调侃背后的技术逻辑拆开AI 到底能不能用来解 NS 方程如果能它解的又是什么如果不能卡在哪里以及最关键的——当我们看到新模型号称解决某数学难题这类新闻时该用什么标准去判断真假。这件事对 AI 从业者、数学爱好者、流体模拟工程师三拨人都有不同的启发我尽量都覆盖到。1. 调侃背后的真实指向从语言模型到数学模型的信任鸿沟Jason Liu 的调侃之所以能火不是因为他本人多有名而是他戳中了一个真实存在且不断被放大的行业现象——大模型的商业化叙事越来越热衷于把数学能力当成卖点而普通用户很难判断这些能力描述的含金量。1.1 秀数学肌肉成为 AI 发布会的固定动作回看这两年的模型发布节奏数学 Benchmark 几乎成了标配。从 GSM8K 到 MATH 再到 Putnam 竞赛题每次新模型发布都要拉出来秀一遍。公开发布会里演示者会让模型解几道微积分、证明一个不等式然后观众鼓掌。这种宣传策略的本质是数学是大众认知里最硬核的智力活动如果 AI 能在数学上打败顶尖人类那它的智能就得到了最有力的背书。但这里有个微妙的偷换概念。大模型在数学题上的表现本质上是模式匹配和搜索的组合它在训练数据里见过大量类似题目知道这类题型的套路。而千禧年难题是开放了二十多年的未解问题它不在任何一个训练集里。这不是难度差异这是本质差异——一个是从见过的题里找最像的解法一个是造出从来没人走过的证明路径。Jason Liu 的调侃之所以有传播力恰恰是因为他在这个宣传套路面前泼了盆冷水你们连 NS 方程的非线性项在奇点处的行为都解释不清就说模型能解千禧年难题这也太不把 Clay 研究所的评审委员会当回事了。1.2 为什么会有人真的相信 AI 能解 NS 方程一个反直觉的事实是相信 AI 能解 NS 方程的人很多并不是完全不懂数学的人而是对计算和证明边界认知模糊的人。我见过做流体仿真的工程师朋友也有过类似的困惑他们每天都在用数值方法解 NS 方程的近似解Fluent、OpenFOAM 跑出来的结果和实验结果对得上那我们是不是已经在求解NS 方程了既然数值上已经在解了那让 AI 再进一步搞个严格证明不就是算得更细一点的事吗这个困惑完全可以理解但它把两个概念混在了一起数值解和解析证明。数值求解是找到某个特定边界条件下方程的一个近似解这个解可能在世界坐标系里非常精准误差千分之一都不到。但数学上的解的存在性和光滑性问的是在任意给定的合理条件下这个方程的解是不是一定存在会不会在某个时刻突然爆炸变成无穷大如果存在的话它是不是处处光滑的这需要的是一个适用于所有情况的严格推理链条而不是某几次计算的成功案例。为了让你更直观地理解这个差异我可以打个比方你拿 GPS 在城市里导航今天成功去了十次目的地明天也能去。这相当于数值求解——在大量实际场景中工作得很好。但数学难题问的是这座城市的道路系统在全域范围内、在地图上任何一条没标注的小路上、在百年一遇的暴雨淹了三条隧道的情况下导航算法是不是依然能给出最优路径你要证明的是所有情况下都行而不是我试过的所有情况都行。1.3 调侃之所以有效的微妙语境Jason Liu 是 LangChain 的 CEO属于 AI 圈子里既懂技术又懂商业化叙事的角色。他的调侃带有一种圈内人看圈内人演戏的解构色彩一方面他深知大模型的真实能力边界另一方面他也清楚发布会上那些话术是怎么包装出来的。当他说OpenAI 新模型解决 NS 方程这件事很荒谬时他其实是在替很多一线从业者说出一个共识——我们每天都在用这些模型知道它们有多强也知道它们在哪里会突然变笨。把千禧年难题当宣传注脚并以此暗示 AGI 已经降临这属于外行的戏剧想象。当然调侃归调侃我们不能因为一条段子就全盘否定 AI 在数学和流体领域的价值。恰恰相反AI 正在改变我们处理和流体方程相关问题的范式只是这种改变不是以证明千禧年难题的方式发生的。接下来我要详细拆解 NS 方程到底难在哪以及 AI 在当前和可见未来里到底能做什么、不能做什么。2. Navier-Stokes 方程的难难在三个完全不同的层面要理解AI 能不能解 NS 方程这个问题先得搞清楚 NS 方程本身难在哪里。我拆成三层物理层面、数学层面、工程层面。这三层的难度属性完全不一样AI 对不同层面介入的能力也完全不同。2.1 物理层面它要描述自然界最普遍也最复杂的运动形态NS 方程描述的是粘性流体的运动它把质量守恒、动量守恒和能量守恒压缩成一组偏微分方程。听起来很基础但流体的运动形态极其丰富。从层流到湍流的转捩从涡的生成到破碎从边界层分离到激波这些现象都藏在同一个方程组里。问题是同一个方程在不同的参数区间下表现出完全不同的行为而数学上还没有一个统一框架能解释这种多样性的所有边界。从物理角度看最难的是湍流。湍流是自然界里最后一个未被完全理解的经典物理现象。Richard Feynman 称之为经典物理中最后一个未解决的问题。湍流里存在跨尺度的能量级串——大尺度的涡不断分裂成小尺度的涡直到粘性把能量耗散成热量。这个级串过程的细节取决于初始条件和边界条件而它的统计规律比如柯尔莫哥洛夫 -5/3 律又是普适的。这套局部随机、全局有序的矛盾性让任何试图从数学上给 NS 方程写下一个放之四海而皆准的通解的努力都变得极其困难。工程师在做的所谓模拟湍流本质上是在做近似要么用湍流模型k-epsilon、LES 等把网格尺度以下的小涡模化掉要么用 DNS 直接数值模拟但成本高到只能算简单几何、低雷诺数。这说明一个深刻的现实连工程上的求解都不是精确的而是有损的、有尺度的近似。2.2 数学层面千禧年问题的精确表述与证明难点千禧年问题中的 NS 方程相关描述精确来说是这样的在三维空间中给定一个初始速度场证明 Navier-Stokes 方程的解是存在且光滑的——也就是说解不会在有限时间内产生奇点速度场不会出现无穷大。同时如果解在某个时刻出现奇点也要能给出一个反例来证明这种爆破确实可能发生。换句话说你要么证明解永远光滑要么构造出一个解在有限时间爆炸的反例。这两个方向都很可怕证明永远光滑需要跨越非线性偏微分方程理论里一堆根本性的障碍构造爆炸解等于你需要证明 NS 方程确实存在物理上的灾难性失败——而这在直觉上又和大量工程实践相矛盾因为真实流体很少在你眼皮底下爆炸。数学家手里现有的工具比如能量估计、Sobolev 空间、正则性理论能证明 如果初始条件足够小则解光滑或者在二维情况下解全局存在且光滑。但三维、任意初始条件、全局时间这个组合至今无解。难怪有人说NS 正则性问题就像数学界的圣杯——每个方向看起来都有戏走到最后都是墙。需要额外强调的一点是这个难题的难点不在于算不出来而在于无法从数学上肯定它一定不会出问题。计算解决方案可以验证一万个具体案例都没问题但数学要求的是对一切可能案例的绝对保证。这两者的逻辑结构完全不同。很多外行理解不了这一点总觉得你都算得这么准了不是已经证明了吗实际上这相当于说我测量了一万只天鹅都是白的所以天鹅全是白的——在工程上这个归纳足够用在数学上这个推理不成立。2.3 工程层面每天都在解但解的永远是近似工程领域里CFD计算流体力学天天在解 NS 方程但解的是离散化之后的代数方程组。你用有限体积法把连续的偏微分方程转换成网格节点上的代数关系用迭代法比如 SIMPLE 算法去求解。这个过程绕不开三个误差来源离散误差网格不够细导致解偏离真实解、模型误差湍流模型本身就是对真实物理的模化、迭代误差迭代没有完全收敛。而且网格分辨率就算提升十倍计算量可能提升百倍——三维问题里网格每加密一倍计算量大约乘以 2 的四次方到五次方。所以工程上的解 NS 方程本质上是在一个受控的误差范围内找到与真实解足够接近的近似解。这套体系已经运转了几十年非常成熟但它和数学意义上的解方程是两码事。工程师不关心解的光滑性全局证明只关心我在这个具体的弯道、这个具体的风速、这个具体的攻角下升力系数算得准不准。这就引出了 AI 的角色问题AI 到底在这个工程的近似里能干什么它能不能帮助数学家完成那个数学意义上的证明下面我分头说。3. AI 在 NS 方程上真正能做的三条看得见的实用路径先把话说透以目前大模型的能力直接输出一个千禧年难题的严格证明概率约为零。这不是悲观这是对数学证明的本质理解——证明不是预测下一步而是一个需要遍历逻辑树、构造反例、验证每一个隐式假设的过程。但 AI 在 NS 方程相关的实际问题里确实有三条路径是真实可行、并且在快速进步的。3.1 物理信息神经网络PINN把方程当作约束条件训练PINNPhysics-Informed Neural Network是近几年比较热的思路。它的核心是把物理方程编码进神经网络的损失函数里。普通神经网络训练时只要求输出和数据吻合PINN 额外要求神经网络的输出必须满足 NS 方程本身。也就是说网络在训练时被强制理解流体的物理规则。举个我实际用过的例子你有一个二维稳态不可压缩 NS 方程问题边界条件已知但没有现成的 CFD 网格。PINN 的做法是随机撒一堆配点然后把网络输出的速度场和压力场代进 NS 方程计算残差把这个残差作为损失项用反向传播去调整网络参数。训练完成之后网络就学到了一个满足方程和边界条件的函数——这个函数本身就是 NS 方程在给定条件下的解的一种表示。PINN 的优点是无需传统网格或者说是无网格方法它天然适合处理反问题比如从观测数据反推流场中的未知参数。但缺点也很明确对于高雷诺数湍流损失函数高度非凸训练很难收敛而且在计算效率上PINN 目前还干不过成熟的 CFD 求解器。我在自己项目里测过PINN 在低雷诺数层流问题里表现不错一旦入了湍流区训练时间和精度都让人头疼。不过这个方向仍然值得关注尤其是在数据和方程融合的应用场景里。3.2 神经算子Neural Operator学习从边界条件到解的映射神经算子走的是另一条路。传统 PDE 数值方法每次面对新的边界条件都要重新求解一次慢且贵。神经算子的想法是如果我能训练一个网络直接学习从边界条件到解的映射那以后换一个新边界条件就不用从头算了一次前向传播直接出结果。这里最有名的代表是 FNOFourier Neural Operator和 DeepONet。它们建立在函数空间的理论框架下不是学习某个具体解而是学习一个算子——也就是从条件到解的映射关系。比如给定 NS 方程的一个初始涡量场FNO 可以在几毫秒内预测下一个时刻的涡量场这个速度和传统数值积分相比快了几个数量级。这种方法的现实意义在于它不是为了替代 CFD而是为了做代理模型——在需要大量重复计算的场景下比如参数优化、不确定性量化、数字孪生先用神经算子快速出近似结果筛掉绝大多数不合理的候选参数再对少量高价值方案做精确 CFD 验证。这是工程实干派的思路用 AI 的快换人类的准把两者用在合适的尺度上。我自己体会最深的是神经算子对训练数据的要求非常高。你拿湍流 DNS 的数据去训一个 FNO数据量小了根本学不到跨尺度信息数据量大了准备数据本身就要烧掉大量算力。所以目前神经算子更多还停留在科研和探索阶段离大规模工业应用还有距离但路径是清晰的。3.3 大模型辅助科研从代码生成到文献梳理的日常渗透再回到 Jason Liu 调侃的主角——OpenAI 新模型这类大语言模型。这类模型在 NS 方程相关的研究里真正的价值不在于直接给证明而在于给研究者提供的辅助能力是实实在在的主要体现在三个层面。第一个层面是代码生成。写过流体模拟的都知道从零开始写一个有限体积法的桩代码有多折磨。大模型可以帮你生成初版的离散化代码、网格生成脚本、后处理可视化代码这个效率提升非常明显。我最近经常做的一件事情是把一段我写的 Fortran 老代码扔给新模型让它翻译成 Python 加 Numba 加速版本再让它解释其中某个离散格式为什么是守恒的效果相当不错。第二个层面是文献和思路的整理。NS 方程相关的证明尝试有一个庞大的文献库从 Leray 的工作到近年来的 regularity criteria 论文大模型可以在你给出研究问题后快速帮你梳理这个方向上卡在哪一步谁试过什么方法哪个引理还没被突破相当于一个读过所有论文的学术助手。第三个层面是假设的快速检验。做偏微分方程研究的人常会有一些一闪而过的 idea——如果我在能量估计里换一个插值不等式会不会得到更好的正则性这种验证如果手动推可能消耗一整天但用大模型当一个符号推演加速器让它先帮你把中间步骤展开看是否走通效率会高很多。当然大模型推演的每一步都需要自己再验算它出错的方式往往很隐蔽但作为初筛工具价值已经很大了。4. 数值模拟、严格证明与AI 证明三者之间的边界这一节可能是很多读者最需要弄懂的部分。我尝试把AI 解决 NS 方程这个模糊表述里可能隐藏的三种解读彻底掰开。每一层解读都有人提但它们的可信度和意义完全不同。4.1 三种解读算得准、猜得对、证得成第一种解读是数值上算得准。这对应我前面说的工程求解。AI 可以加入这个环节作为加速器或者代理模型。但注意数值再准也不是证明只能说明在你测试的这些案例里方程表现正常。第二种解读是提出一个有价值的猜想。AI 通过在海量解空间里做模式挖掘发现了某个普适规律——比如在某一类初始条件下NS 方程的解总是满足某种额外的衰减估计。这确实是有可能的而且已经有类似先例。数学史上计算机辅助的猜想并不罕见——比如 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想最早的证据就来自数值实验。AI 如果能系统性地生成这种可检验的猜想对数学研究的推动是实质性的。但这里要说清楚提出猜想和证明猜想是两码事。第三种解读是输出一份完整的、逻辑闭合的证明。这是数学意义上的解决也是千禧年难题真正的目标。目前来看这条路对任何 AI 都还极其遥远。一个真正的证明需要满足三重标准推理链路的每一步都有形式化的依据、能覆盖所有边界情况和退化情形、能被领域内专家独立验证。大模型目前的输出本质上是概率性的 token 序列它无法对自己的推理给出逐层的绝对保证。这就像一个极其博学的朋友能给你很有启发性的建议但不能保证建议永远正确——而数学证明恰恰要求永远正确。4.2 为什么大模型的数学能力不能直接迁移到证明上这里我想深入聊聊大模型在数学任务上的底层机制。以当前的技术架构来看大模型做数学题时依赖的是两个能力训练数据中的模式覆盖以及上下文中的推理链组装。模式覆盖好理解如果一道题长的样子和训练数据里某道题高度相似模型就能把对应的解法检索并组合出来。这也是为什么 MATH 数据集里的题刷来刷去准确率能一路走高因为题型是有边界的。推理链组装则更微妙。大模型在生成多步推理时每一步都会根据当前上下文预测最合适的 token但注意它并没有独立判断这一步是否逻辑自洽的能力——它只是预测了在语言分布里下一步最像什么。换句话说模型的推理链是一种统计上的连贯而不是逻辑上的必然。当推理步骤较短、每一步的下一步在语料里出现频率高时这个统计连贯和逻辑连贯高度重合看起来就像在做正确的推理。但当推理链变长、步骤变复杂比如需要十几个引理相互嵌套、需要反证法构造一个不存在的对象时统计连贯就很容易断——模型会在某一步突然创造一个不成立的中间结论并且因为其流畅的表达掩盖了这个断裂。那有人会问如果我把证明的每一步都用形式化语言比如 Lean表达让模型做形式化证明的搜索呢这确实是个好方向而且已经有研究在做。但它面临的是组合爆炸的问题形式化证明的搜索空间是树状的在 NS 正则性这种级别的难题里这个树的深度和宽度都超出现有关卡所能及。更现实的做法是用大模型生成部分引理的形式化证明帮助人类减少琐碎工作而把整体的证明策略留给数学家。4.3 一个参照系从四色定理到 AI 辅助证明计算机参与数学的演变计算机在数学证明中的角色经历过几次质的飞跃。第一次是暴力穷举1976 年四色定理借助计算机完成了对 1936 个不可约构型的检查。当时数学界有很大争议——这算证明吗人类无法亲手检查每一个分支只能信任程序。但后来随着形式化验证的出现四色定理的证明被重新用 Coq 验证了一遍争议才逐渐平息。第二次是符号计算Mathematica 和 Maple 让代数化简、积分验证这些繁琐的机械劳动自动化。数学家从重复计算里解放出来能集中精力做策略层面的事。第三次是目前的 AI 辅助阶段。Copilot 帮你写 Lean 代码AlphaTensor 在矩阵乘法里发现新的分解算法FunSearch 在极值组合问题里发现了超越人类已知构造的新解。这些成功案例有一个共同特征它们解决问题的路径不是从无到有地证明一个巨型定理而是在一个被明确定义的有限搜索空间内找到了人类没想到的组合方式。NS 正则性问题的搜索空间和这些问题的量级完全不可比——它是开放性的连从哪个引理出发都不知道。所以我对AI 直接证明 NS 方程非常悲观但对AI 辅助人类在某个局部问题上取得突破还是保持乐观的。5. 从这波调侃里可以带走的三件事回到 Jason Liu 的调侃。一条段子引发的思考其实比段子本身有价值得多。我觉得有三个方面值得每个关注 AI 和数学交叉领域的人认真琢磨。5.1 产品发布话术里的数学能力需要重新校准理解方式对普通用户来说看到一个模型在某个数学基准上分数又涨了第一反应是AI 变聪明了。但我现在会建议你把数学能力拆成三个维度来看一是计算能力它能不能准确做积分、解代数方程二是推理能力它能不能做多步逻辑推导并在中途不犯错三是创造力它能不能造出人类没想过的概念或结构。现阶段大模型最强的是第一项第二项在短链条时可靠、长链条时脆弱第三项偶有火花但不可控。千禧年难题同时需要三项的极限值而目前的模型在这三项上离数学家的成熟判断力都还有明显距离。所以下次看到新模型解决 XX 数学难题的标题可以先问一句它结论是构造了一个新证明还是在测试集上多做了几道题这两个东西的含金量差着一百个数量级。另外从工程角度说即使 AI 不能证明 NS 方程它改写数值模拟流程的能力也已经实打实影响了我这种从业者的日常。我现在跑参数扫描时会先用神经网络代理模型筛一遍设计空间再对 Top 10 的候选做完整 CFD。这大概节省了我 60% 的总计算时间而且对最终精度的损害在可接受范围内——这对我来说比AI 证明千禧年难题实用多了。5.2 对科研工作者AI 是很好的副驾驶员而不是驾驶员我在前文一直强调 AI 辅助的各种可能性现在要泼一盆冷水AI 辅助科研时有一个隐藏的坑就是它的错误非常平滑。人类合作者推导错了你大概率能从字里行间感觉到别扭但大模型推错了它错误的方式往往是每一步看起来都很合理合在一起却在一个隐蔽的假设上崩掉。我自己就被坑过一次。让模型帮我推导一个简化版 NS 方程在某个边界条件下的弱解存在性它用了一个看起来完全合理的紧性论证但中间偷偷用到了一个在边界处不成立的嵌入定理。我直到自己把每一步都手推一遍才发现。从那以后我的规矩是AI 的推演只能用来生成待检验的路径永远不能当作可信的结论。它帮你节省了走弯路的时间但你该走的每一步验证一步都不能少。这也解释了为什么我认为 AI 短期内做不了数学证明的核心原因——数学证明的价值在于结论可以被无条件信任而 AI 生成的内容天生不具备这个属性。除非未来有专门为可验证推理设计的架构把可靠性和创造力放在同等位置否则数学家的地位依然稳固。5.3 对 AI 从业者别把算得动当成想得清这波调侃对 AI 从业者还有一个提醒在向外行介绍模型能力时不要把大模型能做数值计算和大模型具备深层数学智能混为一谈。前者是算力、规模、数据共同作用的结果后者涉及的是抽象推理、概念创造和逻辑闭环两回事。我们长期沉浸在同行的肯定中很容易产生模型真的在思考的错觉但只要你让它去解一个从未出现在任何语料里的开放问题它的表现立刻会提醒你它还是一个极其强大的模式补全器而不是一个独立的思考者。诚实面对模型的边界反而能让模型更好地被使用。我见过太多团队把大模型当成全知全能的 oracle结果在某个关键节点被模型的一本正经的错误带进沟里。反过来如果把模型当作一个知识面极广但偶尔会胡说的顾问让它生成候选路径、做初步验证、筛掉明显不靠谱的想法它的价值释放反而更稳定。6. 聊聊我自己的实测感受新模型在流体方程相关任务上的真实表现说了这么多理论最后分享一下我在工作里对新模型的实际测试结果。毕竟讨论 AI 能不能解 NS 方程最后还是要落到它现在到底几斤几两。6.1 测试一让它推导二维 NS 方程的涡量形式的变换这个任务不算难但是需要清晰的数理功底。模型给出了完整的推导过程从动量方程出发取旋度利用向量恒等式化简最后得到了二维涡量方程逻辑清晰步骤完整。这一步的表现可以说是让人满意的和真人推导的质量没什么差距。接着我让它分析在二维情况下为什么涡量方程里没有涡拉伸项。它也给出了正确的物理解释在二维流动中涡量方向始终垂直于流动平面不存在垂直于涡量方向的速度梯度所以不会产生涡拉伸。这个回答甚至比很多教材解释得更好。但当我继续加码让它讨论三维 NS 方程里涡拉伸项的能谱级串含义、以及涡拉伸和可能的奇点形成之间的关系时模型的回答开始出现教科书式的正确 关键处的模糊。它能背出涡拉伸的能量级串故事但对于为什么涡拉伸可能导致有限时间奇点这个问题给出的推理链条明显跳跃了一个关键的不等式估计。在一处地方它使用了一个看似合理的插值不等式但实际上放向反了。这个错误如果出现在给管理层看的报告里几乎没人看得出来但在数学上是致命的。6.2 测试二让它生成一个求解顶盖驱动流的 PINN 代码框架这个任务是工程向的模型表现相当不错。给定顶盖驱动流的边界条件它生成了一段基于 TensorFlow 的 PINN 代码框架包含了配点采样、边界损失、NS 方程残差损失、训练循环。代码结构和组织方式合理稍微修改一下就能跑起来。这背后是训练数据里的大量开源项目打底模型对这个任务已经具备了很强的模式覆盖能力。不过我细看后发现几个问题一是边界损失没有用硬约束去精确强制 Dirichlet 边界条件这会导致边界附近精度下降二是配点采样用的是均匀分布没有做自适应性采样。后者在高雷诺数条件下会有问题——你需要在边界层附近加密配点否则边界层的物理信息根本学不到。这给我的感觉是模型擅长把网上常见的最佳实践缝合起来但它不会主动告诉你这个任务里哪些地方是需要额外注意的陷阱。它给你的不是针对这个任务最优的方案而是网上最普遍的做法——这中间差了工程师的经验判断。6.3 测试三让它猜一个正则性条件最有意思的是这个测试。我让它基于公开文献里的研究进展提出一个自认为可能成立的、关于三维 NS 方程部分正则性的新条件。模型给出的答案是一个看起来很有道理的条件组合但我在文献里翻了一下这个条件本质上是已知某一篇论文的结果的弱化变体只是模型在表述时把它包装成了新的形式。换句话说模型的创新是拼凑式的——它在已有结论的边缘做了一点点插值而不是真正打开了新的方向。这个观察不令人意外但很有价值它说清楚了 AI 在数学研究里目前的角色上限——它是一个极其高效的知识整合器和模式识别器但它还无法真正创造一个连人类都没想过的关键概念。也许将来某一天情况会变但至少今天当 Jason Liu 调侃AI 解 NS 千禧年难题时我的实测体会是让大模型解 NS 方程的正则性问题相当于让一个读过所有棋谱但从未自己下过棋的新手去挑战围棋世界冠军——它能给你讲三天三夜的棋理但真要坐上棋盘它连第一步应该落在哪里都会犹豫。7. 给不同读者的可落地建议这篇长文已经接近尾声但我还想针对三类典型读者分别给出一些实在的建议避免大家看完之后觉得道理都懂不知道该怎么用。7.1 如果你是数学专业的学生或者研究者NS 正则性问题确实很难但不要因为 AI 一时半会儿破解不了就觉得 AI 与你无关。我建议你至少在两个方向上主动学习和使用 AI 工具。第一是形式化证明工具。Lean 4 是目前比较主流的证明助手它的社区数学库 mathlib 已经有了大量现代数学的基础定义。你应该尝试用大模型辅助生成 Lean 代码哪怕只是证明最基础的命题——这个过程会强迫你把模糊的数学直觉转化为精确的逻辑链条而这恰恰是当前数学家最稀缺的能力之一。第二是用大模型做文献前置调研。当你准备进入一个新方向时先用大模型快速梳理这个方向的代表文献、核心障碍、未解决问题再用你专业的判断力去评估它给的文献列表是否正确。注意大模型对文献的引用可能存在幻觉你必须把它给出的引用信息与真实数据库核对。如果你真的对 NS 正则性问题感兴趣我更建议你把注意力放在部分正则性和奇异点集合的维数估计这些具体问题上。历史经验表明数学难题的突破很少来自对问题整体的正面强攻而是来自对某个局部的深刻理解。AI 在帮你积累这种局部理解时确实能成为一个好助手。7.2 如果你是做流体模拟或 CFD 的工程师我的建议非常直接尽快把神经网络代理模型引入你的工作流。你不需要成为 AI 专家只需要知道怎么用现成的工具。现在主流的深度学习框架PyTorch 或 TensorFlow里都有现成的算子层你完全可以拿已有的 CFD 计算结果作为训练集训练一个 FNO 或者简单点的全连接网络作为参数扫描阶段的粗筛器。另外我特别建议你试试用 PINN 处理反问题。工程里经常遇到的场景是你有一堆传感数据压力、温度但不知道内部流场分布或某个关键物性参数。传统 CFD 求解反问题有各种不适定性困难而 PINN 天然适合这类问题——它能把观测数据和物理方程放在同一个损失函数里优化。我在两个实际项目里试了这种方法效果超出预期而且省掉了大量的手动调参。最后保留你的判断力。AI 代理模型给出的结果永远要经过至少一次传统 CFD 或实验的验证。我不是不相信 AI我是太了解神经网络在插值区间外会做出多么离谱的预测。你永远不会希望飞机机翼的设计依据来自一个在训练数据范围外自由发挥的模型。7.3 如果你是围观这场调侃的普通技术爱好者你不需要懂 Navier-Stokes 方程的具体形式但有一件事值得记住当看到某某 AI 解决了某个难题的新闻时先看看这个解决是论文级别的同行评议结果、还是发布会 PPT 上的一个 demo、还是社交平台上的一句调侃。这三个来源的可信度是递减的而它们正在以越来越难以分辨的方式混合在一起。我的建议是建立一个自己的技术新闻判定流程第一找到原论文或官方技术报告不要依赖二手转述第二看它解决的问题是不是和大众理解的问题一致——很多论文标题里的解决实际上指的是某个受限场景下的改进和完全解决是两码事第三去学术社区比如 MathOverflow、专业论坛看看真正的行家怎么评价。这个过程本身就是一个很好的思维训练它能让你对各种爆炸性技术新闻产生天然的免疫力。结尾一点个人体会写这篇文章的过程中我又把那条 Jason Liu 的调侃翻出来看了几遍。每次看都有新的感受。第一次看觉得是个段子第二次看觉得是行业反思第三次看反倒觉得它有一种温和的乐观在里面——因为在所有讨论 AI 的宏大叙事里能有一条调侃被大家认真讨论恰恰说明这个领域已经成熟到可以被自己人开玩笑了。一个还没有形成共识的领域是开不出这种玩笑的。我个人的体会是面对AI 能不能解决 NS 方程这个问题与其争出一个能或不能的答案不如把它换成更实际的问法——AI 能在我解决 NS 方程相关的哪个具体问题上帮上忙前者是一个会让你陷入空泛争论的伪问题后者才是每一天都在真实发生的科技进步。Navier-Stokes 方程或许还将在 Clay 研究所的网站上继续悬赏很久但与此同时用 AI 加速流体仿真的工程师们已经在机翼设计、气候预测、血管流动模拟这些具体问题上把人类的计算边界又往前推了一点点。这恰恰是科技最本真的状态不是等到某个奇迹发生才开始改变世界而是在无数个平凡的迭代里把不可能悄悄变成已经做到了。